Conservação do Momento Angular

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Descrição da Experiência

Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

Aparato Experimental

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador e respetivo disco. Um segundo disco é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador estando equipado com um conjunto de 3 resistências usado como travão eletromagnético comandado por um microcontrolador. A característica de corrente&voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

Protocolo - Conservação do Momento Angular

Figura1: velocidade de rotação

Um disco com 115g no total é acelerado pelo motor do disco rígido até atingir a velocidade angular pré-selecionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, os discos ficam a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente o servo deixa cair sobre o disco em rotação um disco com 69g no total inicialmente em repouso.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados gráficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A Figura1 é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o discos suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação no instante em que os discos que caem deixam de deslizar sobre os que estavam em rotação.

Física

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=13mm, r_2=47mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia

Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem eletromagnética.
Figura 3: Esquema do circuito elétrico para medição da tensão
Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem
Figura 5: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente eletrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.

Um disco com 115g no total é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular selecionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, os discos ficam a rodar livremente sendo a sua velocidade e a tensão entre duas fases do motor adquiridas. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento (Figura 3). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão e velocidade em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As Figuras 2 e 4 são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travam eletromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da Figura 2 gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma reta cujo declive nos permite extrapolar a perda de velocidade angular do motor para qualquer valor. Mais tarde permitirá calcular diferencialmente a perta instantânea do momento devido à componente do atrito mecânico.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A energia perdida por atrito será

$\Delta E_{atrito}=Iw_{exp}\left(w_{2s/atr}-w_{1s/atr}\right)$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{2s/atr}$ e $w_{1s/atr}$ são a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A Figura 5 ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por 7%. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor.

Ligações