Difference between revisions of "Conservação do Momento Angular"
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| + | O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor. | ||
| − | O aparato | + | O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia. |
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| + | O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação. | ||
| − | + | Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo. | |
| − | + | A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm. | |
| − | + | Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante. | |
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| − | + | [[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.|right|border|240px]] | |
| + | [[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão.|right|border|240px]] | ||
| + | [[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem.|right|border|240px]] | ||
| + | [[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial.|right|border|240px]] | ||
| + | [[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.|right|border|240px]] | ||
| − | + | O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão. | |
| − | + | As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm. | |
| − | + | Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular. | |
| − | + | Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências. | |
| − | + | <math>\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{elec}</math> | |
| − | + | A energia de um corpo em rotação é <math>E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}</math> em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será: | |
| − | + | <math>\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{n+1}^2-w_{n}^2)}{2}</math> | |
| − | + | em que <math>w_{n+1} e w_{n}</math> correspondem à velocidade angular experimental do disco em aquisições consecutivas. | |
| − | + | Usando o declive <math>a</math> da reta ajustada à desaceleração inicial derivada do atrito mecânico é possível extrapolar <math>w_{n+1}</math> para a aquisição seguinte se o relé não estivesse ligado. | |
| − | + | <math>w_{n+1}= w_{n} + a \Delta t</math> | |
| − | + | Substituindo este <math>w_{n+1}</math> extrapolado na equação de variação total de energia é possível calcular a dissipação de energia devido ao atrito mecânico: | |
| − | + | <math>\Delta E_{atrito}=\frac{I(w_{n}^2+2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2-w_{n}^2)}{2}</math> | |
| − | + | <math>\Delta E_{atrito}=\frac{I(2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2)}{2}</math> | |
| − | + | Um conjunto de extrapolações de <math>w_{n+1}</math> é visível na '''Figura 5'''. | |
| − | + | A potência dissipada no "atrito eletromagnético" corresponde a <math>P=VI=\frac{V^2}{R}</math> | |
| − | + | A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a <math>V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}</math> | |
| − | + | Na montagem usada, a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de <math> 4,7\Omega </math> e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar <math> R=4,7\Omega </math> e multiplicar por 2 a potência. | |
| − | + | <math>P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}</math> | |
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| − | + | <math>P=\frac{V^2}{R}</math> | |
| − | + | A energia dissipada será: <math>\Delta E_{ele}=P*\Delta t</math> | |
| − | + | Em que <math>\Delta t</math> é o tempo entre aquisições. | |
| − | + | O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado: <math>Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{elec}</math> | |
| − | + | Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) iterando o valor do momento de inércia (I). | |
| − | + | Usando este método, consegue-se inferir um valor experimental de <math>1,52\times10^{-4} kg m^2</math> para o momento de inércia. | |
| − | A energia de | + | A '''Figura 6''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência. |
| − | + | Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a: | |
| − | + | <math>I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2</math> | |
| − | + | Calculando o erro em relação ao valor esperado, obtem-se <math>\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%</math> | |
| − | + | Conclui-se assim que os resultados se desviam dos calculados teoricamente por '''~10%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático. | |
| − | + | =Física= | |
| + | Usando as seguintes quantidades: | ||
| − | + | L - momento angular | |
| − | + | I - momento de inércia | |
| − | + | ω - velocidade angular | |
| − | + | m - massa em rotação. | |
| − | + | Tem-se para a conservação do momento angular: | |
| − | + | <math>L_i=L_f</math> | |
| − | + | <math>I_i \omega_i=I_f \omega_f</math> | |
| − | + | <math>\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math> | |
| − | + | <math>\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math> | |
| − | + | <math>\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math> | |
| − | + | Obtém-se experimentalmente <math>\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656</math> | |
| − | + | enquanto que pela razão das massas <math>\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625</math> | |
| − | + | Fazendo um desvio à exatidão <math>\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%</math> | |
| − | + | Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular. | |
| − | + | Sabendo as dimensões exatas dos discos (<math>r_1=12,5mm, r_2=47,5mm</math>) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio). | |
| − | \ | + | <math>I_i \omega_i=I_f \omega_f</math> |
| − | + | <math>\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f</math> | |
| − | + | Resolvendo em ordem a <math>I_m</math> | |
| − | + | <math>I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}</math> | |
=Ligações= | =Ligações= | ||
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]] | *[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]] | ||
Latest revision as of 20:37, 24 November 2015
Contents
Descrição da Experiência
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.
Ligações
- Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/inertiadisks.sdp
- Laboratório: Intermédio em e-lab.ist.eu
- Sala de controlo: [indisponível]
- Nivel: ***
Aparato Experimental
O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.
O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.
Protocolo - Conservação do Momento Angular
O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.
Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.
A Figura1 é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.
Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.
Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia
O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento (Figura 3). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.
As Figuras 2 e 4 são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.
Fazendo um ajuste aos primeiros dados da Figura 2 gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.
Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.
[math]\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{elec}[/math]
A energia de um corpo em rotação é [math]E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}[/math] em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:
[math]\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{n+1}^2-w_{n}^2)}{2}[/math]
em que [math]w_{n+1} e w_{n}[/math] correspondem à velocidade angular experimental do disco em aquisições consecutivas.
Usando o declive [math]a[/math] da reta ajustada à desaceleração inicial derivada do atrito mecânico é possível extrapolar [math]w_{n+1}[/math] para a aquisição seguinte se o relé não estivesse ligado.
[math]w_{n+1}= w_{n} + a \Delta t[/math]
Substituindo este [math]w_{n+1}[/math] extrapolado na equação de variação total de energia é possível calcular a dissipação de energia devido ao atrito mecânico:
[math]\Delta E_{atrito}=\frac{I(w_{n}^2+2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2-w_{n}^2)}{2}[/math]
[math]\Delta E_{atrito}=\frac{I(2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2)}{2}[/math]
Um conjunto de extrapolações de [math]w_{n+1}[/math] é visível na Figura 5.
A potência dissipada no "atrito eletromagnético" corresponde a [math]P=VI=\frac{V^2}{R}[/math]
A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a [math]V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}[/math]
Na montagem usada, a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de [math] 4,7\Omega [/math] e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar [math] R=4,7\Omega [/math] e multiplicar por 2 a potência.
[math]P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}[/math]
[math]P=\frac{V^2}{R}[/math]
A energia dissipada será: [math]\Delta E_{ele}=P*\Delta t[/math]
Em que [math]\Delta t[/math] é o tempo entre aquisições.
O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado: [math]Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{elec}[/math]
Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) iterando o valor do momento de inércia (I).
Usando este método, consegue-se inferir um valor experimental de [math]1,52\times10^{-4} kg m^2[/math] para o momento de inércia.
A Figura 6 ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.
Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:
[math]I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2[/math]
Calculando o erro em relação ao valor esperado, obtem-se [math]\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%[/math]
Conclui-se assim que os resultados se desviam dos calculados teoricamente por ~10%. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.
Física
Usando as seguintes quantidades:
L - momento angular
I - momento de inércia
ω - velocidade angular
m - massa em rotação.
Tem-se para a conservação do momento angular:
[math]L_i=L_f[/math]
[math]I_i \omega_i=I_f \omega_f[/math]
[math]\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]
[math]\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]
[math]\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]
Obtém-se experimentalmente [math]\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656[/math]
enquanto que pela razão das massas [math]\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625[/math]
Fazendo um desvio à exatidão [math]\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%[/math]
Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.
Sabendo as dimensões exatas dos discos ([math]r_1=12,5mm, r_2=47,5mm[/math]) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).
[math]I_i \omega_i=I_f \omega_f[/math]
[math]\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f[/math]
Resolvendo em ordem a [math]I_m[/math]
[math]I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}[/math]
