Conservação do Momento Angular
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Descrição da Experiência
Esta sala de controlo permite verificar a conservação do momento angular e medir o momento de inércia de um conjunto de discos em rotação.
Aparato Experimental
O aparato experimental consiste num disco rígido de computador ao qual foram adicionados um servo e um conjunto de discos suspensos por este. Esta montagem permite a realização do primeiro protocolo experimental, centrado no estudo da conservação do momento angular.
O aparato conta ainda com um conjunto de resistências de travagem que podem ser colocadas em paralelo com os enrolamentos do motor do disco por um relé. Esta montagem permite a realização do segundo protocolo experimental, centrado no estudo do momento de inércia.
Protocolo
5 discos com 115g no total são acelerados pelo motor do disco rígido até 1500rpm. Neste momento o motor desliga-se, os discos ficam a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo adquirida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente pelo utilizador, o servo deixa cair sobre os discos em rotação 3 discos com 69g no total inicialmente em repouso.
No final da sessão obtém-se uma tabela com a velocidade dos discos em função do tempo, cujos valores servirão para criar um gráfico num programa ao critério do utilizador.
A Figura1 é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa os discos cair a 1000 rpm. Fazendo uma regressão entre o início da desaceleração e a queda dos discos, obtém-se uma reta cuja equação nos permite determinar a velocidade prevista dos discos em rotação no ponto em que os discos que caem deixam de deslizar sobre os que estavam em rotação.
Usando as seguintes quantidades:
L - momento angular
I - momento de inércia
ω - velocidade angular
m - massa em rotação.
\[L_i=L_f\] \[I_i \omega_i=I_f \omega_f\] \[\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}\] \[\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}\] \[\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}\]
\[\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656\]
\[\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625\]
\[\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625\]
Protocolo Avançado
5 discos com 115g no total são acelerados pelo motor do disco rígido até 1500rpm. Neste momento o motor desliga-se, os discos ficam a rodar livremente e a sua velocidade de rotação e tensão aos terminais de um dos enrolamentos vão sendo adquiridas. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente pelo utilizador, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento. Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético.
No final da sessão obtém-se uma tabela com a velocidade dos discos e tensão aos terminais de um enrolamento em função do tempo, cujos valores servirão para criar gráficos num programa ao critério do utilizador.
As Figuras 2 e 3 são gráficos criados no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga a 1000 rpm.
É evidente a diferença nos declives de desaceleração. Inicialmente é apenas o atrito cinético a desacelerar os discos, mas quando o relé liga, as resistências que são colocadas em paralelo com os enrolamentos do motor passam também a dissipar energia. A contribuição das resistências para a perda de velocidade e consequentemente de energia dos discos é dada pela diferença dos declives.
Quantificando:
\[\frac{d\omega_{res}}{dt}=\frac{d\omega_{atrito+res}}{dt}-\frac{d\omega_{atrito}}{dt}=-194,860-(-79,234)=-115,626rpm/s = -115,626\times\frac{2\pi}{60}=-12,11rad/s^2\]
É preciso descontar o declive do atrito também nas tensões, para a perda de energia nas resistências correspondente à perda de energia dada pela diferença dos declives de desaceleração dos discos. Pode-se para o efeito somar a função de ajuste da primeira série de dados da tensão à segunda série, fazer o gráfico do resultado e ajustar uma nova reta.
Para clarificar, somar-se-á 0,0241(t-6,42)V a cada ponto na tabela após o relé ligar e ajusta-se uma reta a essa série de dados. O resultado deste processo está apresentado na Figura4.
Utilizando a tensão dada pela reta de ajuste da Figura4 e sabendo que as resistências são de 5,3Ω chega-se à potência dissipada:
\[P=VI=V\frac{V}{R}=\frac{V^2}{R}\]
Integrando a potência dissipada obtém-se a energia dissipada nas 3 resistências:
\[\int_{6,67}^{9,62}\frac{dE}{dt}dt=3\int_{6,67}^{9,62}\frac{V^2}{R}dt=0,313J\]
A energia de um corpo rígido em rotação e a sua derivada no tempo são dadas por:
\[E=\frac{I\omega^2}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=I\omega'\omega\]
Integra-se a última equação sabendo que \(\int_{6,67}^{9,62}\frac{dE}{dt}dt=-0,313J\) (coloca-se o "-" por se dissipar esta energia), ω' é constante = -12,11rad/s^2 (vem da diferença dos declives de desaceleração) e ω é dado pela reta de ajuste à desaceleração em rad/s,
\[\int_{6,67}^{9,62}\frac{dE}{dt}dt=\int_{6,67}^{9,62}I\omega'\omega \; dt\] \[-0,313=I(-12,11)\int_{6,67}^{9,62}\omega \; dt\] \[\frac{-0,313}{-12,11}=I\int_{6,67}^{9,62}-20,41t+230,93 dt\] \[I=\frac{-0,313}{-12,11\times 190,837}\] \[I=1,354\times 10^{-4}kg\, m^2\]
Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:
\[I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2\]
Fazendo um desvio à exactidão,
\[\frac{\left|1,354\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=0,9\%\]
Concluímos que esta experiência produziu resultados com um desvio à exactidão de 0,9%!!
