Gamma
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Descrição da experiência
Este laboratório permite determinar a razão entre os calores específicos do ar, a pressão constante e a volume constante, usando para o efeito as oscilações adiabáticas dum êmbolo num cilindro de dimensões conhecidas.
Ligações:
Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/gamma.sdp
Laboratório: Avançado em e-lab.ist.eu[1]
Sala de controlo: Cp/Cv
Nivel: ****
Aparato experimental
Esta experiência é constituida por uma seringa de vidro com 20 ml de volume cujo êmbolo está lubrificado com grafite. O êmbolo é posicionado num volume inicial de referência após o qual uma válvula isola esse volume do exterior.
Um motor de passo permite efectuar a operação de seleção do volume e também provocar uma pequena oscilação inicial que origina a oscilação amortecida do êmbolo. Antes da válvula está instalado um transdutor de pressão absoluta e um microfone de eletreto que permitem determinar respetivamente a pressão absoluta no interior da seringa e o período das oscilações.Protocolo
O método de Ruchhardt’s para determinar a razão entre o calor especifico a pressão constante e o calor específico a volume constante dum gás é bastante preciso, mas tem uma elevada sensibilidade à medida do período das oscilações. Devido a esse facto recomenda-se desde já um grande cuidado na determinação do período, sendo para tal utilizados dois métodos: a forma da onda captada pelo transdutor de pressão e o período médio determinado digitalmente. Estes dados devem ser utilizados de uma forma crítica, explorando ao máximo a informação que fornecem. A experiência é constituída por uma seringa, cujo êmbolo tem atrito reduzido por estar lubrificado com grafite e pelo facto da montagem estar colocada numa posição vertical. Seleccionado um volume de referência, o êmbolo de 26,4 gr. e 18.9 mm de diâmetro é perturbado por forma a oscilar livremente em torno da sua posição de equilibrio.
Do período de oscilação pode ser inferido \( \gamma \).Protocolo Avançado
Análise de Dados
Princípios Teóricos
Método de Ruchhardt
Este método permite determinar experimentalmente a razão entre o calor especifico a pressão constante e o calor específico a volume constante dum gás. Se este gás for atmosférico (maioritariamente diatómico) então essa relação deve ser próxima de 1,4. Se considerarmos um êmbolo sem atrito a oscilar livremente num cilindro de volume \( V_0 \), à pressão \( p \), então a força exercida no mesmo ( \( m \ddot{y} \) ) corresponde à gravidade ( \( mg \) ) menos a variação de pressão que se exerce na área do êmbolo ( \( A \Delta p \) ).
[math] -mg+A \Delta p = m \ddot{y} [/math]
Ora a variação de pressão para pequenas variações de volume é dada por:
[math] \Delta p = \frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0} [/math]
e se considerarmos o fenómeno suficientemente rápido não ocorrerão trocas de calor (fenómeno adiabático)
[math] pV^{\gamma} = p_0 V_0 ^{\gamma}, \quad p = \frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma} } [/math]
Das equações acima vem que:
[math] \frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0} = - \gamma frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma +1} } | _{V = V_0} = - \gamma \frac{p_0}{V_0} [/math]
e
[math] -mg+ A (- \gamma \frac{p_0}{V_0} \Delta V) = m \ddot{y} , \text{ onde } \Delta V = Ay [/math]
pelo que, simplificando,
[math] \ddot{y} + \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} y+g = 0 [/math]
Seja
[math] \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} = \omega ^2, \text{ de modo que } \ddot{y} + \omega ^2 y + g = 0 [/math]
Alterando a coordenada de origem para a posição de equilíbrio do êmbolo, facilmente se identifica esta equação com a equação do movimento dum oscilador harmónico sem atrito
[math] \ddot{y}' + \omega ^2 y' = 0 \text{ com } y = y' - \frac{g}{\omega ^2} \text{ e } \omega ^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} [/math]
Medindo o período de oscilação, T, determina-se \( \gamma \)
[math] \gamma = \frac{4mV_0}{p_0 r^4 T^2} [/math]
onde r é o raio do cilindro.