Difference between revisions of "Conservação do Momento Angular"

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=Descrição da Experiência=
 
=Descrição da Experiência=
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Esta sala de controlo permite verificar a conservação do momento angular e medir o momento de inércia de um conjunto de discos em rotação.
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Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.
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'''Ligações'''
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*Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/inertiadisks.sdp
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*Laboratório: Intermédio em [http://e-lab.ist.eu e-lab.ist.eu]
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*Sala de controlo: [indisponível]
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*Nivel: ***
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{{#ev:youtube|X2OK3akY4GE|Filme em camara lenta (12x mais lento) dos discos a acopolarem.|center}}
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=Aparato Experimental=
 
=Aparato Experimental=
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O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.
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O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.
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=Protocolo - Conservação do Momento Angular=
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O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.
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Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.
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A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.
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Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.
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=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=
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[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.|right|border|240px]]
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[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão.|right|border|240px]]
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[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre&nbsp;duas fases durante a travagem.|right|border|240px]]
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[[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial.|right|border|240px]]
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[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.|right|border|240px]]
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O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.
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As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.
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Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.
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Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.
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<math>\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{elec}</math>
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A energia de um corpo em rotação é <math>E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}</math> em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:
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<math>\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{n+1}^2-w_{n}^2)}{2}</math>
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em que <math>w_{n+1} e w_{n}</math> correspondem à velocidade angular experimental do disco em aquisições consecutivas.
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Usando o declive <math>a</math> da reta ajustada à desaceleração inicial derivada do atrito mecânico é possível extrapolar <math>w_{n+1}</math> para a aquisição seguinte se o relé não estivesse ligado.
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<math>w_{n+1}= w_{n} + a \Delta t</math>
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Substituindo este <math>w_{n+1}</math> extrapolado na equação de variação total de energia é possível calcular a dissipação de energia devido ao atrito mecânico:
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<math>\Delta E_{atrito}=\frac{I(w_{n}^2+2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2-w_{n}^2)}{2}</math>
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<math>\Delta E_{atrito}=\frac{I(2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2)}{2}</math>
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Um conjunto de extrapolações de <math>w_{n+1}</math> é visível na '''Figura 5'''.
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A potência dissipada no "atrito eletromagnético" corresponde a <math>P=VI=\frac{V^2}{R}</math>
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A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a <math>V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}</math>
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Na montagem usada, a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de <math> 4,7\Omega </math> e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar <math> R=4,7\Omega </math> e multiplicar por 2 a potência.
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<math>P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}</math>
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<math>P=\frac{V^2}{R}</math>
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A energia dissipada será: <math>\Delta E_{ele}=P*\Delta t</math>
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Em que <math>\Delta t</math> é o tempo entre aquisições.
  
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O aparato experimental consiste num disco rígido de computador ao qual foram adicionados um servo e um conjunto de discos suspensos por este.
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O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado: <math>Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{elec}</math>
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Esta montagem permite a realização do primeiro protocolo experimental, centrado no estudo da conservação do momento angular.
 
  
−
O aparato conta ainda com um conjunto de resistências de travagem que podem ser colocadas em paralelo com os enrolamentos do motor do disco por um relé.
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Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) iterando o valor do momento de inércia (I).
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Esta montagem permite a realização do segundo protocolo experimental, centrado no estudo do momento de inércia.
 
  
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=Protocolo=
+
Usando este método, consegue-se inferir um valor experimental de <math>1,52\times10^{-4} kg m^2</math> para o momento de inércia.
  
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[[File:velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|velocidade dos discos ao longo do tempo]]
+
A '''Figura 6''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.
  
−
5 discos com 115g no total são acelerados pelo motor do disco rígido até 1500rpm. Neste momento o motor desliga-se, os discos ficam a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo adquirida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente pelo utilizador, o servo deixa cair sobre os discos em rotação 3 discos com 69g no total inicialmente em repouso.
+
Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:
  
−
No final da sessão obtém-se uma tabela com a velocidade dos discos em função do tempo, cujos valores servirão para criar um gráfico num programa ao critério do utilizador.
+
<math>I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2</math>
  
−
A figura "momento angular graph" é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa os discos cair a 1000 rpm. Fazendo uma regressão entre o início da desaceleração e a queda dos discos, obtém-se uma reta cuja equação nos permite determinar a velocidade prevista dos discos em rotação no ponto em que os discos que caem deixam de deslizar sobre os que estavam em rotação.
+
Calculando o erro em relação ao valor esperado, obtem-se <math>\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%</math>
  
 +
Conclui-se assim que os resultados se desviam dos calculados teoricamente por '''~10%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.
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=Física=
 
Usando as seguintes quantidades:
 
Usando as seguintes quantidades:
  
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I - momento de inércia
 
I - momento de inércia
  
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w - velocidade angular
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&omega; - velocidade angular
  
 
m - massa em rotação.
 
m - massa em rotação.
  
−
<div style="text-align: center;">Temos para a conservação do momento angular:</div>
+
Tem-se para a conservação do momento angular:
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\[
+
 
−
L_i=L_f
+
<math>L_i=L_f</math>
−
\]
+
 
−
\[
+
<math>I_i \omega_i=I_f \omega_f</math>
−
I_i w_i=I_f w_f
+
 
−
\]
+
<math>\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math>
−
\[
 
−
\frac{I_i}{I_f}=\frac{w_f}{w_i}
 
−
\]
 
−
\[
 
−
\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{w_f}{w_i}
 
−
\]
 
−
\[
 
−
\frac{m_i}{m_f}=\frac{w_f}{w_i}
 
−
\]
 
  
−
<div style="text-align: center;">Obtém-se experimentalmente</div>
+
<math>\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math>
  
−
\[
+
<math>\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math>
−
\frac{w_f}{w_i}=\frac{623}{950}=0,656
 
−
\]
 
  
−
<div style="text-align: center;">que é um resultado compatível com razão das massas</div>
+
Obtém-se experimentalmente <math>\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656</math>
  
−
\[
+
enquanto que pela razão das massas <math>\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625</math>
−
\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625
 
−
\]
 
  
−
<div style="text-align: center;">a menos de uma diferença de 4,9% comprovando-se experimentalmente a conservação do momento angular.</div>
+
Fazendo um desvio à exatidão <math>\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%</math>
  
−
=Protocolo Avançado=
+
Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.
  
−
5 discos com 115g no total são acelerados pelo motor do disco rígido até 1500rpm. Neste momento o motor desliga-se, os discos ficam a rodar livremente e a sua velocidade de rotação e tensão aos terminais de um dos enrolamentos vão sendo adquiridas. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente pelo utilizador, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento.
+
Sabendo as dimensões exatas dos discos (<math>r_1=12,5mm, r_2=47,5mm</math>) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).
  
−
No final da sessão obtém-se uma tabela com a velocidade dos discos e tensão aos terminais de um enrolamento em função do tempo, cujos valores servirão para criar um gráfico num programa ao critério do utilizador.
+
<math>I_i \omega_i=I_f \omega_f</math>
  
−
O gráfico à direita foi criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa os discos cair a 1000 rpm.
+
<math>\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f</math>
−
Esta experiência permite actuar um travão electromagnético que consiste em três resistências eléctricas que dissipam a energia gerada pelo motor a funcionar como gerador (tal como um dínamo de uma bicicleta). Este travão é actuado numa altura pré-determinada, o que origina uma forte desaceleração dos discos a partir desse instante. Comparando a desaceleração (variação da energia cinética de rotação) dos discos com a energia dissipada é possível estimar o momento de inércia I dos discos. O modo mais expedito consiste em integrar a potência dissipada, obtendo a energia dissipada ao longo do tempo; esta terá de ser igual à variação da energia cinética de rotação entre os instantes de integração considerados.
 
  
−
[[File:Minercia-graph2.jpg|thumb]]
+
Resolvendo em ordem a <math>I_m</math>
  
−
Gráfico do ajuste à serie 1 que representa a energia dissipada integrando a potência em função do tempo pela serie 2 obtida com o ajuste da função
+
<math>I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}</math>
−
\[
 
−
E = \frac{I \omega ^2}{2}  
 
−
\]
 
−
onde I é o parâmetro a ajustar. Com a definição do momento de inércia para um disco homogéneo presente:
 
−
\[
 
−
I = \frac{m r ^2}{2}
 
−
\]
 
−
determina-o para a massa do raio do disco inicial e compara com o valor experimental obtido pelo balanço energético descrito no parágrafo anterior.
 
−
É ainda interessante discutir qual a perda relativa de energia na colisão e se é possível afirmar que existe conservação do momento e da energia.
 
  
 
=Ligações=
 
=Ligações=
 
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]
 
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

Latest revision as of 19:37, 24 November 2015

Descrição da Experiência

Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.


Ligações

  • Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/inertiadisks.sdp
  • Laboratório: Intermédio em e-lab.ist.eu
  • Sala de controlo: [indisponível]
  • Nivel: ***


Aparato Experimental

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.


Protocolo - Conservação do Momento Angular

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A Figura1 é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.


Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia

Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.
Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão.
Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem.
Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial.
Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento (Figura 3). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As Figuras 2 e 4 são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da Figura 2 gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

[math]\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{elec}[/math]

A energia de um corpo em rotação é [math]E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}[/math] em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

[math]\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{n+1}^2-w_{n}^2)}{2}[/math]

em que [math]w_{n+1} e w_{n}[/math] correspondem à velocidade angular experimental do disco em aquisições consecutivas.

Usando o declive [math]a[/math] da reta ajustada à desaceleração inicial derivada do atrito mecânico é possível extrapolar [math]w_{n+1}[/math] para a aquisição seguinte se o relé não estivesse ligado.

[math]w_{n+1}= w_{n} + a \Delta t[/math]

Substituindo este [math]w_{n+1}[/math] extrapolado na equação de variação total de energia é possível calcular a dissipação de energia devido ao atrito mecânico:

[math]\Delta E_{atrito}=\frac{I(w_{n}^2+2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2-w_{n}^2)}{2}[/math]

[math]\Delta E_{atrito}=\frac{I(2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2)}{2}[/math]

Um conjunto de extrapolações de [math]w_{n+1}[/math] é visível na Figura 5.

A potência dissipada no "atrito eletromagnético" corresponde a [math]P=VI=\frac{V^2}{R}[/math]

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a [math]V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}[/math]

Na montagem usada, a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de [math] 4,7\Omega [/math] e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar [math] R=4,7\Omega [/math] e multiplicar por 2 a potência.

[math]P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}[/math]

[math]P=\frac{V^2}{R}[/math]

A energia dissipada será: [math]\Delta E_{ele}=P*\Delta t[/math]

Em que [math]\Delta t[/math] é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado: [math]Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{elec}[/math]

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) iterando o valor do momento de inércia (I).

Usando este método, consegue-se inferir um valor experimental de [math]1,52\times10^{-4} kg m^2[/math] para o momento de inércia.

A Figura 6 ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

[math]I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2[/math]

Calculando o erro em relação ao valor esperado, obtem-se [math]\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%[/math]

Conclui-se assim que os resultados se desviam dos calculados teoricamente por ~10%. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

Física

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

[math]L_i=L_f[/math]

[math]I_i \omega_i=I_f \omega_f[/math]

[math]\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]

[math]\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]

[math]\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]

Obtém-se experimentalmente [math]\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656[/math]

enquanto que pela razão das massas [math]\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625[/math]

Fazendo um desvio à exatidão [math]\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%[/math]

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ([math]r_1=12,5mm, r_2=47,5mm[/math]) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

[math]I_i \omega_i=I_f \omega_f[/math]

[math]\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f[/math]

Resolvendo em ordem a [math]I_m[/math]

[math]I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}[/math]

Ligações

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