Difference between revisions of "Conservação do Momento Angular"

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=Descrição da Experiência=
 
=Descrição da Experiência=
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Esta sala de controlo permite verificar a conservação do momento angular e medir o momento de inércia de um conjunto de discos em rotação.
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Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.
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'''Ligações'''
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*Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/inertiadisks.sdp
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*Laboratório: Intermédio em [http://e-lab.ist.eu e-lab.ist.eu]
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*Sala de controlo: [indisponível]
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*Nivel: ***
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{{#ev:youtube|X2OK3akY4GE|Filme em camara lenta (12x mais lento) dos discos a acopolarem.|center}}
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=Aparato Experimental=
 
=Aparato Experimental=
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O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.
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O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.
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=Protocolo - Conservação do Momento Angular=
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O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.
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Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.
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A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.
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Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.
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=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=
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[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.|right|border|240px]]
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[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão.|right|border|240px]]
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[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre&nbsp;duas fases durante a travagem.|right|border|240px]]
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[[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial.|right|border|240px]]
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[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.|right|border|240px]]
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O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.
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As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.
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Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.
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Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.
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<math>\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{elec}</math>
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A energia de um corpo em rotação é <math>E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}</math> em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:
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<math>\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{n+1}^2-w_{n}^2)}{2}</math>
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em que <math>w_{n+1} e w_{n}</math> correspondem à velocidade angular experimental do disco em aquisições consecutivas.
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Usando o declive <math>a</math> da reta ajustada à desaceleração inicial derivada do atrito mecânico é possível extrapolar <math>w_{n+1}</math> para a aquisição seguinte se o relé não estivesse ligado.
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<math>w_{n+1}= w_{n} + a \Delta t</math>
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Substituindo este <math>w_{n+1}</math> extrapolado na equação de variação total de energia é possível calcular a dissipação de energia devido ao atrito mecânico:
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<math>\Delta E_{atrito}=\frac{I(w_{n}^2+2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2-w_{n}^2)}{2}</math>
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<math>\Delta E_{atrito}=\frac{I(2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2)}{2}</math>
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Um conjunto de extrapolações de <math>w_{n+1}</math> é visível na '''Figura 5'''.
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A potência dissipada no "atrito eletromagnético" corresponde a <math>P=VI=\frac{V^2}{R}</math>
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A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a <math>V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}</math>
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Na montagem usada, a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de <math> 4,7\Omega </math> e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar <math> R=4,7\Omega </math> e multiplicar por 2 a potência.
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<math>P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}</math>
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<math>P=\frac{V^2}{R}</math>
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A energia dissipada será: <math>\Delta E_{ele}=P*\Delta t</math>
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Em que <math>\Delta t</math> é o tempo entre aquisições.
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O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado: <math>Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{elec}</math>
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Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) iterando o valor do momento de inércia (I).
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Usando este método, consegue-se inferir um valor experimental de <math>1,52\times10^{-4} kg m^2</math> para o momento de inércia.
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A '''Figura 6''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.
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Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:
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<math>I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2</math>
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Calculando o erro em relação ao valor esperado, obtem-se <math>\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%</math>
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Conclui-se assim que os resultados se desviam dos calculados teoricamente por '''~10%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.
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=Física=
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Usando as seguintes quantidades:
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L - momento angular
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I - momento de inércia
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&omega; - velocidade angular
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m - massa em rotação.
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Tem-se para a conservação do momento angular:
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<math>L_i=L_f</math>
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<math>I_i \omega_i=I_f \omega_f</math>
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<math>\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math>
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<math>\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math>
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<math>\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}</math>
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Obtém-se experimentalmente <math>\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656</math>
  
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O aparato experimental consiste num disco rígido de computador ao qual foram adicionados um servo e um conjunto de discos suspensos por este.
+
enquanto que pela razão das massas <math>\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625</math>
−
Esta montagem permite a realização do primeiro protocolo experimental, centrado no estudo da conservação do momento angular.
 
  
−
O aparato conta ainda com um conjunto de resistências de travagem que podem ser colocadas em paralelo com os enrolamentos do motor do disco por um relé.
+
Fazendo um desvio à exatidão <math>\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%</math>
−
Esta montagem permite a realização do segundo protocolo experimental, centrado no estudo do momento de inércia.
 
  
−
Cinco discos de um disco-duro dum PC com 115 g no total são acelerados a uma velocidade de 1500 rpm e depois deixados a rodar livremente; quando é atingida uma velocidade angular definida pelo utilizador, três discos com 69 g no total e com um diâmetro de 95 mm são deixados cair sobre os cinco anteriores. Sabendo que os discos têm as mesmas dimensões, verifique se há conservação do momento angular.
+
Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.
  
−
=Protocolo=
+
Sabendo as dimensões exatas dos discos (<math>r_1=12,5mm, r_2=47,5mm</math>) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).
  
−
[[File:Minercia-graph1.png|thumb]]
+
<math>I_i \omega_i=I_f \omega_f</math>
  
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No exemplo da figura onde foram lançados os segundos discos a partir do instante 3 s, é efectuada uma regressão linear sobre os pontos iniciais antes de ocorrer o acoplamento dos discos. Obtida esta equação (p.ex. utilizando a função linha de tendência do Microsoft Excel) é possível extrapolar o que seria a velocidade no instante 5.5 s onde ambos os discos já rodam à mesma velocidade. Neste caso obter-se-ia uma velocidade de cerca de 3215 rpm. Consultando o valor na tabela para este instante, obstem-se uma leitura de 2010 rpm. A razão (2010/3215) deverá ser equivalente à razão das massas (3/5).
+
<math>\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f</math>
  
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=Protocolo Avançado=
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Resolvendo em ordem a <math>I_m</math>
−
Esta experiência permite actuar um travão electromagnético que consiste em três resistências eléctricas que dissipam a energia gerada pelo motor a funcionar como gerador (tal como um dínamo de uma bicicleta). Este travão é actuado numa altura pré-determinada, o que origina uma forte desaceleração dos discos a partir desse instante. Comparando a desaceleração (variação da energia cinética de rotação) dos discos com a energia dissipada é possível estimar o momento de inércia I dos discos. O modo mais expedito consiste em integrar a potência dissipada, obtendo a energia dissipada ao longo do tempo; esta terá de ser igual à variação da energia cinética de rotação entre os instantes de integração considerados.
 
  
−
[[File:Minercia-graph2.jpg|thumb]]
+
<math>I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}</math>
  
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Gráfico do ajuste à serie 1 que representa a energia dissipada integrando a potência em função do tempo pela serie 2 obtida com o ajuste da função
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=Ligações=
−
\[
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*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]
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E = \frac{I \omega ^2}{2}
 
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\]
 
−
onde I é o parâmetro a ajustar. Com a definição do momento de inércia para um disco homogéneo presente:
 
−
\[
 
−
I = \frac{m r ^2}{2}
 
−
\]  
 
−
determina-o para a massa do raio do disco inicial e compara com o valor experimental obtido pelo balanço energético descrito no parágrafo anterior.
 
−
É ainda interessante discutir qual a perda relativa de energia na colisão e se é possível afirmar que existe conservação do momento e da energia.
 

Latest revision as of 19:37, 24 November 2015

Descrição da Experiência

Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.


Ligações

  • Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/inertiadisks.sdp
  • Laboratório: Intermédio em e-lab.ist.eu
  • Sala de controlo: [indisponível]
  • Nivel: ***


Aparato Experimental

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.


Protocolo - Conservação do Momento Angular

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A Figura1 é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.


Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia

Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.
Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão.
Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem.
Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial.
Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento (Figura 3). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As Figuras 2 e 4 são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da Figura 2 gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

[math]\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{elec}[/math]

A energia de um corpo em rotação é [math]E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}[/math] em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

[math]\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{n+1}^2-w_{n}^2)}{2}[/math]

em que [math]w_{n+1} e w_{n}[/math] correspondem à velocidade angular experimental do disco em aquisições consecutivas.

Usando o declive [math]a[/math] da reta ajustada à desaceleração inicial derivada do atrito mecânico é possível extrapolar [math]w_{n+1}[/math] para a aquisição seguinte se o relé não estivesse ligado.

[math]w_{n+1}= w_{n} + a \Delta t[/math]

Substituindo este [math]w_{n+1}[/math] extrapolado na equação de variação total de energia é possível calcular a dissipação de energia devido ao atrito mecânico:

[math]\Delta E_{atrito}=\frac{I(w_{n}^2+2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2-w_{n}^2)}{2}[/math]

[math]\Delta E_{atrito}=\frac{I(2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2)}{2}[/math]

Um conjunto de extrapolações de [math]w_{n+1}[/math] é visível na Figura 5.

A potência dissipada no "atrito eletromagnético" corresponde a [math]P=VI=\frac{V^2}{R}[/math]

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a [math]V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}[/math]

Na montagem usada, a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de [math] 4,7\Omega [/math] e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar [math] R=4,7\Omega [/math] e multiplicar por 2 a potência.

[math]P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}[/math]

[math]P=\frac{V^2}{R}[/math]

A energia dissipada será: [math]\Delta E_{ele}=P*\Delta t[/math]

Em que [math]\Delta t[/math] é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado: [math]Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{elec}[/math]

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) iterando o valor do momento de inércia (I).

Usando este método, consegue-se inferir um valor experimental de [math]1,52\times10^{-4} kg m^2[/math] para o momento de inércia.

A Figura 6 ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

[math]I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2[/math]

Calculando o erro em relação ao valor esperado, obtem-se [math]\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%[/math]

Conclui-se assim que os resultados se desviam dos calculados teoricamente por ~10%. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

Física

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

[math]L_i=L_f[/math]

[math]I_i \omega_i=I_f \omega_f[/math]

[math]\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]

[math]\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]

[math]\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}[/math]

Obtém-se experimentalmente [math]\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656[/math]

enquanto que pela razão das massas [math]\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625[/math]

Fazendo um desvio à exatidão [math]\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%[/math]

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ([math]r_1=12,5mm, r_2=47,5mm[/math]) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

[math]I_i \omega_i=I_f \omega_f[/math]

[math]\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f[/math]

Resolvendo em ordem a [math]I_m[/math]

[math]I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}[/math]

Ligações

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