Estatística de Dados

Descrição

Esta experiência consiste num sistema automático de lançamento de dados de seis faces. Para se contarem as pintas, procede-se à aquisição e análise automática da imagem destes dados.

Os valores permitem estudar a lei das probabilidades e elaborar um estudo estatístico de fenómenos aleatórios. Pode-se, também, utilizar as imagens para desenvolver algoritmos próprios, aplicando os mesmos no estudo de várias ferramentas de visão por computador.

Ligações

• Video: [indisponível]
• Laboratório: Básico em e-lab.ist.eu[1]
• Sala de controlo: Aleatório
• Nivel: ***

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Aparato Experimental

A experiência consiste num altifalante posicionado na horizontal com uma plataforma no topo do cone de k-line (cartão estruturado com poliuretano), onde se encontram espalhados 14 dados. Na parte superior, a 30 cm da plataforma, está uma câmara de vídeo e um led branco de alto brilho para iluminar a plataforma.

Montagem

O lançamento dos dados é conseguido através da excitação do altifalante com uma onda sonora, vibrando a plataforma com a mesma frequência da onda.

Esta plataforma tem uma parede que impede os dados de saírem da plataforma e do campo de visão da webcam. Esta parede é bastante alta, para impedir a entrada de luz que não provenha do seu sistema de iluminação.

Com este aparato, obtêm-se imagens como a da figura 2.

O processamento desta imagem é feito segundo o fluxograma abaixo e o resultado deste processamento leva a uma imagem como a da figura 3.

Figura 2: Imagem original

Figura 3: Imagem após reconhecimento

Fluxograma

Protocolo

O protocolo de execução da experiência é simples porque consiste em excitar, convenientemente, a plataforma para que esta consiga baralhar os dados. De seguida, descreve-se os principais elementos do configurador da sala de controlo para uma melhor compreensão dos mesmos.

Manual de Utilização

É possível escolhermos os parâmetros todos da análise de imagem.

• Black&White Threshold: para definir o valor, em escala de cinzento, acima do qual os pixéis ficam a branco.

• Para a Transformada de Hough:
  • Threshold1: define o valor acima do qual um pixel da imagem da transformada de Hough é considerado para análise posterior;
  • Threshold2: faz a média dos pixéis na vizinhança do pixel que passou o teste anterior e, se essa média for acima deste Threshold2, esse pixel é considerado para análise posterior;
  • Threshold3: à partida, qualquer pixel detectado numa zona a branco do dado é desprezado, mas, se esse pixel apresentar uma média (calculada para o teste anterior) superior a este Threshold3, então esse pixel é aproveitado. Isto, porque os dados têm, por vezes, o centro das pintas a branco.

• Convolution Thresold: define o valor acima do qual um pixel da imagem da convolução é considerado para análise posterior;

• Propriedades dos dados:
  • Raio da pinta: raio esperado, em pixéis, para a(s) pinta(s) do(s) dado(s) (Nota: Este algoritmo espera que as pintas sejam circulares).
  • Largura do dado: distância máxima, em pixéis, entre pintas. Ou seja, para dados de 6 pintas, esta será a distância duma pinta num canto ao outro, na diagonal.
  • Número de dados esperado: quantidade de dados esperada. Se for detectada uma quantidade superior e alguns desses não forem detectados como "compatíveis" com dados, então estes serão eliminados (Nota: O algoritmo compara as posições das pintas com conjuntos detectados, com base na proximidade das pintas. Estes conjuntos são comparados com o que se espera obter num dado com a quantidade de pintas que esse conjunto tiver; se essa comparação der positiva, o conjunto fica marcado como "compatível", se não tenta-se fazer trocas e/ou eliminação de pintas até se obter conjuntos "compatíveis" com dados).

Som (lançamento dos dados)

Os dados são lançados (baralhados) pelo movimento oscilante da plataforma onde se encontram. Pode-se seleccionar as frequências inicial e final da onda sonora que vai ser transmitida à plataforma de lançamento dos dados. Esta onda é gerada na altura, ou seja, não há uma colecção de ficheiros de som que já estão gravados com todas as combinações possíveis.

A frequência mínima possível é 20 Hz e a máxima é de 150 Hz.

Abaixo de 20 Hz, não há resposta do altifalante, do amplificador, nem da placa de som que permita a vibração da plataforma. Acima dos 150 Hz, por inércia, a vibração da plataforma tem uma amplitude muito reduzida, logo não é suficiente para comunicar movimento aos dados.

Escolhemos também a duração desta onda sonora, com um mínimo de 1.5 s e um máximo de 10 s. 1.5 s é suficiente para os dados se baralharem um pouco mas para certas frequências perto dos limites, são poucos os que mudam a face virada para cima. 10 s já permite que haja uma desordem dos dados bastante elevada embora desnecessária na maioria dos casos.

Imagem

Escolhemos quantas imagens pretendemos analisar, ao escolher o número de amostras. No mínimo podemos ter uma amostra e, no máximo, vinte.

Uma amostra serve para verificarmos como funciona o motor de detecção, quais os passos que ele segue e quanto tempo demora em cada passo. Com vinte amostras é possível vermos a distribuição que se espera aproximar à “gaussiana” (apesar de tal só acontecer, em teoria, para trinta amostras, pelo menos).

Video

Podemos escolher ver ou não o vídeo do processo de baralhar os dados.

Este vídeo é composto por uma sequência de imagens em formato .jpeg, logo não é um vídeo no verdadeiro sentido da palavra, podendo demorar a transferência de dados de acordo com a velocidade da rede.

Visto que o vídeo exige uma elevada utilização da largura de banda disponível, é aconselhável o seu uso apenas para uma amostra e para ver uma única vez, com intuito lúdico, dado que se torna repetitivo.

Protocolo Avançado

Após a aquisição de suficientes contagens, constrói-se um gráfico do número de ocorrências e faz-se um ajuste à função de distribuição Gaussiana esperada, representada por:

[math] p(x) = y_0 + A e ^{- \frac{(x- \mu)^2}{\sigma ^2}} [/math]

Figura 5: Distribuição estatística de exemplo

Como se têm 14 dados, espera-se que o valor mais provável seja 49, o que é comprovado por este ajuste efectuado pela acumulação de valores.

A melhor forma de realizarmos este estudo é articular os resultados de vários utilizadores e verificarmos como melhora o ajuste em função do número crescente de amostras adicionadas.

O valor esperado para o valor médio do lançamento de N dados de seis faces é dado por:

[math] \bar{\mu} = \frac{6N+N}{2} [/math]

Estudo da frequência ideal para excitar os dados

Suposições:

1. O dado que parte do repouso acompanha o movimento ascendente da plataforma;
2. O dado apenas se separa da plataforma quando esta começa a descer, ou seja, o dado fica em queda livre, com velocidade inicial vertical nula;
3. O choque do dado com a plataforma é inelástico, ou seja, volta a acompanhar a plataforma até à seguinte posição máxima desta.

Assim, partindo do momento em que o dado larga a plataforma, ou seja, quando esta começa a descer, podem-se escrever as seguintes expressões para os movimentos do dado e da plataforma:

Dado: \( y(t) = \frac{A}{2} - \frac{g ^2}{2} \)

Plataforma: \( y'(t) = A cos(2 \pi f t) \)

Nestas expressões: A é a amplitude com que a plataforma vibra; g é a aceleração da gravidade; f é a frequência de vibração da plataforma e t é o tempo desde o momento indicado anteriormente.

Igualando e resolvendo em ordem a t, obtém-se a seguinte equação implítcita:

[math] t = \sqrt{\frac{A- 2 A cos (2 \pi f t)}{g}} [/math]

Para resolver esta equação, usou-se um método numérico que, essencialmente, tendo um valor de t inicial, avalia a raiz e atribui o valor encontrado à variável t. Volta a repetir este processo até que o valor de t convirja. Obviamente, tem que se ter os valores da amplitude, da frequência e da aceleração da gravidade fixos; usou-se, para a amplitude, 3 mm; para a frequência, usaram-se várias entre 1 e 500 Hz e para a aceleração da graviadade, usou-se 9,81 \(ms^{-2}\).

O valor de t usado para a primeira iterada é de 1/4f, para que o coseno, dentro da raiz, dê zero e a primeira iterada dê um valor real.

Na seguinte tabela estão indicadas as frequências e t para as quais o método convergiu, tal como os cos e sin correspondentes:

f (Hz)	t (miliseg.)	cos(2p f t )	- sin(2p f t )
14	27.91	-0.7732	-0.6341
15	29.70	-0.9418	-0.3362
16	30.24	-0.9948	-0.1017
17	30.25	-0.9960	0.0893
18	29.98	-0.9692	0.2462
19	29.54	-0.9268	0.3756
20	29.01	-0.8758	0.4827
21	28.42	-0.8206	0.5715
49	30.21	-0.9924	0.1227
50	30.26	-0.9968	0.0805
51	30.06	-0.9781	0.2083
83	30.26	-0.9973	0.0736
116	30.27	-0.9977	0.0680
149	30.27	-0.9980	0.0632
182	30.27	-0.9983	0.0591
215	30.27	-0.9985	0.0554
248	30.28	-0.9986	0.0521
281	30.28	-0.9988	0.0491

De notar que, regra geral, as trajectórias cruzam-se perto do mínimo da trajectória da plataforma (cos(2pf t ) >> -1), já quando esta vai a subir (-sin(2p f t ) >0).

Ligações

• Versão em Inglês (English Version)
• Artigo no portal e-escola sobre esta experiência