Difference between revisions of "Propagação de Solitões num Meio Viscoso"

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(NOTA: Este artigo encontra-se em construção. Muitas das referências e símbolos matemáticos não estão correctos)
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=Descrição da Experiência=
 
=Descrição da Experiência=
 
[[File:Solitoes_intro_expo98.jpg|thumb|alt=Solitão num dos vulcões de água no Parque das Nações.]]
 
[[File:Solitoes_intro_expo98.jpg|thumb|alt=Solitão num dos vulcões de água no Parque das Nações.]]
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==Equação D.J. Korteweg e Hendrik de Vries-KdV==
 
==Equação D.J. Korteweg e Hendrik de Vries-KdV==
  
\[
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<math>
 
\eta _t + c _0 \eta _x + \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x + \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} = 0
 
\eta _t + c _0 \eta _x + \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x + \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} = 0
\]
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</math>
  
 
Observando esta equação verificam-se então dois termos muito importantes, um termo dispersivo \( \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} \) e um não-linear \( \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x \).
 
Observando esta equação verificam-se então dois termos muito importantes, um termo dispersivo \( \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} \) e um não-linear \( \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x \).
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As ondas solitárias/solitões surgem desta equação e resultam da competição entre os termos dispersivo e não-linear. Sob certas circunstâncias, os dois exactamente contrabalançam e o resultado é uma configuração estável;uma onda que se propaga sem qualquer alteração da forma.
 
As ondas solitárias/solitões surgem desta equação e resultam da competição entre os termos dispersivo e não-linear. Sob certas circunstâncias, os dois exactamente contrabalançam e o resultado é uma configuração estável;uma onda que se propaga sem qualquer alteração da forma.
  
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=Protocolo=
 
=Protocolo=
  
O projecto experimental consiste na elaboração duma tina de “plexi-glass” com um sistema de comportas de abertura/fecho automático(controlado electronicamente por via informática!) que viabilizam a geração de Ondas Solitárias/Solitões e pemitem o estudo das propriedades das mesmas. Através das equações de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries, foram feitas Previsões/Simulações Numéricas do que se sucede na tina. Assim, se se quiser pensar em termos de objectivos, o mais estrito consiste na comparação/corroboração das leis de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries(KdV) e o objectivo mais lato visa a que qualquer pessoa que esteja interessada no fenómeno Onda Solitária/Solitão, através da “página da Web” criada, possa realizar a experiência em “directo” e confirme ela própria as mesmas leis!
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O projecto experimental consiste na elaboração duma tina de “plexi-glass” com um sistema de comportas de abertura/fecho automático(controlado electronicamente por via informática) que viabilizam a geração de Ondas Solitárias/Solitões e pemitem o estudo das propriedades das mesmas. Através das equações de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries, foram feitas Previsões/Simulações Numéricas do que se sucede na tina. Assim, se se quiser pensar em termos de objectivos, o mais estrito consiste na comparação/corroboração das leis de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries(KdV) e o objectivo mais lato visa a que qualquer pessoa que esteja interessada no fenómeno Onda Solitária/Solitão, através da “página da Web” criada, possa realizar a experiência em “directo” e confirme ela própria as mesmas leis!
  
 
Esquema simplificado da tina elaborada para o intuito:
 
Esquema simplificado da tina elaborada para o intuito:
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* γ=0,2 m
 
* γ=0,2 m
  
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=Modelo teórico avançado=
 
=Modelo teórico avançado=
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Assume-se que o líquido é homogéneo, incompressível e sem viscosidade. Esta última consideração (viscosidade=0) está longe de ser verdadeira para qualquer líquido que exista na realidade.
 
Assume-se que o líquido é homogéneo, incompressível e sem viscosidade. Esta última consideração (viscosidade=0) está longe de ser verdadeira para qualquer líquido que exista na realidade.
  
Assume-se também que o líquido está contido numa tina segundo o eixo dos xx, a um nível z=h e com uma largura constante Δy=γ. O líquido está sujeito a uma força gravitacional (g) e a uma pressão atmosférica (pa) constante que actua na superfície livre do líquido. Ignorando-se os efeitos de tensão superficial do líquido (tendo em conta  as ordens de grandeza da tina de água do nosso projecto), considera-se que o movimento do líquido segundo estas forças é irrotacional.
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Assume-se também que o líquido está contido numa tina segundo o eixo dos xx, a um nível z=h e com uma largura constante \( \Delta y = \gamma \). O líquido está sujeito a uma força gravitacional (g) e a uma pressão atmosférica (pa) constante que actua na superfície livre do líquido. Ignorando-se os efeitos de tensão superficial do líquido (tendo em conta  as ordens de grandeza da tina de água do nosso projecto), considera-se que o movimento do líquido segundo estas forças é irrotacional.
  
 
[[File:Solitoes_calha.gif|alt=Esquema da tina dos solitões.]]
 
[[File:Solitoes_calha.gif|alt=Esquema da tina dos solitões.]]
  
 
==Equações de ondas (Teoremas)==
 
==Equações de ondas (Teoremas)==
Admitem-se ondas de uma dimensão que se propagam ao longo da tina. Designa-se por η(x, t) ao deslocamento vertical no mesmo tempo t da partícula do líquido na superfície livre que se encontra em x quando está em equilíbrio.
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Admitem-se ondas de uma dimensão que se propagam ao longo da tina. Designa-se por \( \eta (x, t) \) ao deslocamento vertical no mesmo tempo t da partícula do líquido na superfície livre que se encontra em x quando está em equilíbrio.
  
 
As suposições anteriores não são suficientes para especificar a forma e o comportamento destas ondas. Para definir as soluções tem que se ter em consideração os valores relativos de três comprimentos característicos:
 
As suposições anteriores não são suficientes para especificar a forma e o comportamento destas ondas. Para definir as soluções tem que se ter em consideração os valores relativos de três comprimentos característicos:
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Se \( \bar{\eta} < 1 \) (caso clássico de dispersão linear), obtém-se a seguinte relação de dispersão:
 
Se \( \bar{\eta} < 1 \) (caso clássico de dispersão linear), obtém-se a seguinte relação de dispersão:
  
\[
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<math>
 
\omega ^2 = kg + tanh (kh) \label{eq:dispersao}
 
\omega ^2 = kg + tanh (kh) \label{eq:dispersao}
\]
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</math>
  
 
onde k é o número de onda e \( \omega \) é a frequência ângular.
 
onde k é o número de onda e \( \omega \) é a frequência ângular.
  
Considerando ondas de água de pequena profundidade, isto é , k.h(ou h/l) pequenos, a relação de dispersão, equação (ref{eq:dispersao}), escreve-se:
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Considerando ondas de água de pequena profundidade, isto é , k.h(ou h/l) pequenos, a relação de dispersão, a equação \ref{eq:dispersao}, escreve-se:
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<math>
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\omega = c _0 \left[ k - \frac{h^2}{6} k^3 + ... \right] \quad com \quad c _0 = \sqrt{g h} \label{eq:desenvolv-serie}
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</math>
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Se a profundidade é muito pequena( \( h \rightarrow 0 \) ), o desenvolvimento em série anterior (equação \ref{eq:desenvolv-serie}) pode ser truncado no termo de primeira ordem, ficando-se com a bem conhecida expressão das ondas não-dispersivas de pequena amplitude com velocidade \( c _0 \):
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<math>
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\omega = c_0 k
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</math>
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À medida que o valor de k.h aumenta, o termo de terceira ordem da relação \ref{eq:desenvolv-serie} tem de ser incluído e então as ondas tornam-se dispersivas, correspondendo a um dos termos da equação kdV (O termo dispersivo da equação KdV).
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O outro termo importante da equação KdV é o termo que lhe confere a não-linearidade, que surge quando o termo h/?h é incluído (O termo não-linear da equação KdV). Este termo fornece uma correcção à velocidade (tornando-se uma função crescente da amplitude), dada por:
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<math> \label{eq:correc-velocidade}
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c = c _0 \left( 1 + \frac{3 \eta}{2 h} \right)
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</math>
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Em suma, a equação KdV é obtida considerando-se as seguintes suposições/condições:
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# Ondas de pequena amplitude: \( \epsilon _1 \equiv \frac{\bar{\eta}}{h} < 1 \)
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# Ondas compridas: \( \epsilon _2 \equiv (\frac{h}{l}) ^2 < 1 \)
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# \( \epsilon _1 \) e \( \epsilon _2 \) têm a mesma ordem de grandeza(os fenómenos 1 e 2 contrabalançam-se). De forma mais simplificada, cria-se o Número de Ursel, dado por: \( U \equiv \frac{\epsilon _1}{\epsilon _2} = \frac{\bar{\eta} l ^2}{h ^3} \) e garante-se que este seja de ordem de grandeza 1, isto é \( U = O(1) \)
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Considerando-se estas suposições, obtém-se então a equação KdV que descreve ondas que se deslocam no sentido positivo do eixo dos xx:
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<math>
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\eta _t + c _0 \eta _x + (\frac{3 c_0}{2 h}) \eta \eta _x + (\frac{c _0 h ^2}{6}) \eta _{xxx} = 0 \quad com \quad \eta _{x'} = \frac{\partial ^i \eta}{\partial x ^i} \quad e \quad \eta _t = \frac{\partial \eta}{\partial t} \label{eq:kdv}
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</math>
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Observando a equação KdV \ref{eq:kdv} e estabelecendo uma analogia com as equações \ref{eq:desenvolv-serie} e \ref{eq:correc-velocidade} verificam-se então os termos dispersivo \( \frac{c _0 h ^2}{6}) \eta _{xxx} \) e não-linear \( \frac{3 c_0}{2 h}) \eta \eta _x \), respectivamente.
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As ondas solitárias surgem da equação \ref{eq:kdv} e resultam da competição entre os termos dispersivo e não-linear. Sob certas circunstâncias, os dois exactamente contrabalançam e o resultado é uma configuração estável; uma onda que se propaga sem qualquer alteração da forma. A solução de onda solitária resultante da equação KdV específica analiticamente a forma da onda.
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<math> \label{eq:onda-solitaria}
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\eta (x,t) = h + \eta _0 sec h^2 \left( \frac{x - ct}{L} \right)
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</math>
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Em que \( \eta _0 \) é a amplitude máxima da onda, c é a sua velocidade dada por
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<math> \label{eq:velocidade}
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c _0 (1+ \frac{\eta _0}{2 h})
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</math>
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e L é o comprimento característico da onda, dado por
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<math>
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\sqrt{ \frac{4 h ^3}{3 \bar{\eta}} }
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</math>
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Assim, uma onda solitária tem a forma singular de “sino”, muito diferente do caso dos “pacotes” de onda com a forma de seno, características do caso linear. Estabelecendo-se uma identificação termo a termo entre os três comprimentos característicos (\( \bar{\eta} \), l, h) pressupostos para a equação KdV e as grandezas (\( \eta _0 \), L, h) resultantes da solução da mesma(equação KdV), isto é:
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\begin{align} \label{eq:sistema}
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\bar{ \eta} &= \eta _0 \\
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l &= L \\
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h &= h
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\end{align}
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e substituindo as grandezas resultantes do último sistema \ref{eq:sistema} nas expressões referentes às condições 1. e 2. e na expressão do número de Ursel, referente à condição 3., obtém-se que
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\begin{align} \label{eq:sistema2}
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(1) \quad \epsilon _1 &= \frac{\eta _0}{h} < 1 \\
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(2) \quad \epsilon _2 &= \frac{3}{4} \frac{\eta _0}{h} < 1 \\
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(3) \quad U &= \eta _0 \frac{4 h ^3}{3 \eta _0 h ^3} = \frac{4}{3} = 1,(3) \simeq 1 \quad (Teorico)
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\end{align}
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mostrando-se desta forma a concordância entre a solução obtida e as três condições de validade impostas quando se formulou a equação KdV. Esta solução é obtida analiticamente, tratando-se então da solução teórica geral e pelo que o valor do número de Ursel obtido é o valor óptimo(teórico).
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Uma contribuição muito importante para o desenvolvimento da teoria dos solitões foi dada por Gardner, que mostrou que se a forma inicial da onda é “suficientemente localizada” a solução analítica é facilmente obtida.A solução prevê que se o Volume inicial é não-negativo, a onda extende-se num ou mais solitões e numa cauda dispersiva “radiativa”.
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Estes resultados são obtidos através do designado método de scattering inverso cujo problema é reduzido na obtenção dos estados próprios da equação de Schroedinger com um “potencial gerador” que tem a forma inicial da onda geradora, invertendo-se o sinal. Existe uma correspondência injectiva entre os estados ligados e os solitões que assimptoticamente se extendem da onda inicial geradora, e entre os estados de scattering e os da cauda radiativa dispersiva.
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O número total (N) de solitões que se formam dependem da forma de onda inicial que os gera e do nível de referência de água(h). As ondas geradoras de solitões que se criam na tina são ondas de forma quadrada de comprimento B e altura A, tal como se pode constatar na figura seguinte
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[[File:Solitoes_calha2.gif|alt=Esquema da tina dos solitões.]]
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Tal como se pode observar da figura, o canto mais próximo da tina actua como um plano de reflexão para a onda, pelo que a onda inicial quadrada gera um solitão, cuja expressão matemática que o define é dada por \ref{eq:onda-solitaria}:
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<math>
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\eta (x,t) = h + \eta _0 sec h^2 ( \frac{x-ct}{L} )
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</math>
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e em que pelo que foi referido
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\begin{align} \label{eq:sistema3}
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\eta _0 &= \frac{A _i}{2} \\
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L &= 2 B _i \\
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h &= h
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\end{align}
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em conta este sistema \ref{eq:sistema3} e o sistema \ref{eq:sistema}, obtém-se que:
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\begin{align} \label{eq:sistema4}
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\bar{ \eta} &= \frac{A _i}{2} \\
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l &= 2 B _i \\
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h &= h
 +
\end{align}
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Substituindo agora o sistema \ref{eq:sistema4} nas expressões referentes às condições 1. e 2. e na expressão do número de Ursel referente à condição 3., obtém-se que:
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\begin{align} \label{eq:sistema5}
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(1) \quad \epsilon _1 &= \frac{A_i}{2h} \\
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(2) \quad \epsilon _2 &= ( \frac{h}{2B} ) ^2 \\
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(3) \quad U &= \frac{2 A_i B_i ^2}{h ^3} \quad (Experimental)
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\end{align}
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Como se constata da condição (3) o número de Ursel experimental é função dos valores de A e B da onda quadrada gerada inicialmente para cada uma das comportas i da tina. Assim, para cada uma destas(comportas i) correspondem os respectivos valores experimentais do número de Ursel que são diferentes do valor teórico óptimo(U=4/3). De forma a garantir a aplicabilidade das equações de KdV e desta forma garantir-se a visualização do fenómeno onda solitária/solitão na tina de água é necessário que se verifiquem as condições (1) e (2) pressupostas na formulação da equação KdV e simultaneamente a condição (3). Devido aos condicionalismos “físicos” na tina, verificar a condição (3) corresponde na prática a que os valores experimentais do Número de Ursel não se afastem muito do valor teórico óptimo.
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Se a onda quadrada inicial gerar mais do que um solitão, o número de solitões (N) que se forma é dado por
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<math> \label{eq:n}
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N = 1 + Int \left( \frac{S}{\pi} \right), \quad S = \sqrt{ \frac{3 \eta _0}{2h}} \frac{L}{h}
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</math>
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em que Int é a parte inteira do número.
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Neste caso, a expressão matemática que os define é dada por:
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<math> \label{eq:eta-n}
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\eta _N (x,t) = h + \frac{2N(N+1)h^3}{3L ^2} sech^2(\frac{x-ct}{L})
 +
</math>
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cuja '''solução óptima''' ( \( U=\frac{4}{3} \) ) à semelhança do que acontece para a expressão \ref{eq:onda-solitaria} é dada quando:
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\begin{align}
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\bar{ \eta} &= \eta _0 \\
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l &= L = \sqrt{ \frac{4 h^3}{3 \bar{ \eta}}} \\
 +
h &= h
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\end{align}
 +
 
 +
e a '''solução experimental''' é definida para:
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\begin{align}
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\bar{ \eta} &= \eta _0 = \frac{A _i}{2} \\
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l &= L = 2 B _i \\
 +
h &= h
 +
\end{align}
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 +
Considerando N=1 na expressão \ref{eq:eta-n} obtém-se o caso particular de solução de onda de uma solitária/solitão, isto é, a expressão \ref{eq:onda-solitaria} (como seria de esperar!).
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==Propriedades das Ondas Solitárias/Solitões==
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Através da equação KdV e da teoria de solitões anteriormente apresentada é então possível prever as seguintes propriedades dos solitões que serão posteriormente comparadas com as características das ondas solitárias/solitões obtidos através das actividades experimentais que se pretendem implementar na prática (projecto - tina de água):
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 +
* Através duma perturbação inicial de volume não negativo(suficientemente localizada) é gerada pelo menos uma onda solitária, cuja forma de onda é dada por \ref{eq:eta-n} e que particularmente relaciona a amplitude da onda, comprimento e velocidade;
 +
* Depois da onda solitária ter atingido o estado estável, a forma da onda não varia;
 +
* O número de ondas solitárias que se formam a partir da onda quadrada é dado por \ref{eq:n};
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* As ondas solitárias são seguidas por uma cauda dispersiva;
 +
* A velocidade das ondas solitárias depende linearmente com a sua amplitude, tal como se prevê em \ref{eq:velocidade};
 +
* Dado que ondas solitárias de amplitude maior possuem velocidades maiores, estas extendem-se em grupos ordenados do maior para o menor;
 +
* Existe estabilidade durante a colisão entre duas ondas solitárias que se propaguem na mesma direcção, dado que estas são solitões. Esta colisão pode ser obtida lançando um solitão pequeno seguido de um maior. Este último solitão extende-se a uma velocidade maior que o solitão mais pequeno alcançando-o e ultrapassando-o A equação KdV prevê que as formas após a interacção permanecem inalteradas, registando-se apenas uma variação (“shift”) de fase ( avançado-se o mais rápido e recuando-se o mais lento). Mais precisamente, no caso da interacção de dois solitões de amplitudes \( \eta _{01} \) e \( \eta _{02} \)(com \( \eta _{01} < \eta _{02} \)) as variações de fase são dadas por:
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<math>
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\delta _1 = \left( \frac{h}{c_1} \right) \left( \frac{1}{K_1} \right) ln \left[ \frac{(K_1 + K_2)}{(K_1 - K_2)} \right]
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</math>
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<math>
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\delta _2 = \left( \frac{h}{c_2} \right) \left( \frac{1}{K_2} \right) ln \left[ \frac{(K_1 + K_2)}{(K_1 - K_2)} \right]
 +
</math>
 +
 
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em que \( K_i = \sqrt{ \frac{3 \eta _{0i}}{4h} } \)
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em que \( c_i \) é dado pela expressão \ref{eq:velocidade} para cada um dos solitões.
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* Existe também estabilidade para a colisão frontal entre dois solitões. As duas ondas que colidem, propagam-se em direcções opostas e são descritas por duas equações KdV diferentes. Assim, esta estabilidade não é prevista pela equação KdV, pelo que nada leva a crer, teoricamente, que se trata de uma propriedade característica dos solitões.
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(em construção)
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<!-- ==Previsão/Simulação Numérica das Experiências Avançadas== -->
  
\[
 
\omega = c _0 [k - \frac{h^2}{6} k^3 + ...] com c _0 = \sqrt{g h}
 
\]
 
  
 
=Protocolo avançado=
 
=Protocolo avançado=
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=Ligações=
 
=Ligações=
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*[[Propagation of solitons | Versão em Inglês (English Version)]]

Latest revision as of 19:51, 24 May 2015

(NOTA: Este artigo encontra-se em construção. Muitas das referências e símbolos matemáticos não estão correctos)

Descrição da Experiência

Solitão num dos vulcões de água no Parque das Nações.

A primeira observação registada do fenómeno Solitão foi efectuada por John Scott Russell ( Engenheiro e Arquitecto Naval), há mais de 150 anos, que escreveu uma carta à Associação Britânica para o Desenvolvimento da Ciência (B.A.A.S.) transmitindo o que tinha observado. A descoberta deste fenómeno ocorreu de uma forma muito peculiar, pelo que se apresenta de seguida a tradução de um excerto desta carta:

“Estava a observar o movimento de um barco que era conduzido por dois cavalos a grande velocidade por um canal estreito, quando este de repente parou; a massa de água que o barco tinha posto em movimento, tinha-se acumulado na proa num estado de violenta agitação. De repente, deixando o barco para trás, deslocando-se para a frente rapidamente, surgiu uma grande elevação solitária, redonda, polida e bem definida que seguiu o seu curso ao longo do canal, aparentemente, sem mudar de forma ou diminuir a sua velocidade. Então, segui-a com o meu cavalo verificando que se deslocava a uma velocidade de aproximadamente oito ou nove milhas por hora e que preservava a sua forma original de trinta pés de comprimento e de um a um pé e meio de altura em relação ao nível da água. A sua altura diminuía gradualmente, e após uma caça de uma ou duas milhas perdi-a...”

À semelhança do que fez John Scott Russel, nos nossos dias é possível repetir esta descoberta nos canais dos célebres vulcões do Parque das Nações.


Caixa de Ligações

(em construção)



Modelo teórico

Equação D.J. Korteweg e Hendrik de Vries-KdV

[math] \eta _t + c _0 \eta _x + \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x + \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} = 0 [/math]

Observando esta equação verificam-se então dois termos muito importantes, um termo dispersivo \( \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} \) e um não-linear \( \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x \).

As ondas solitárias/solitões surgem desta equação e resultam da competição entre os termos dispersivo e não-linear. Sob certas circunstâncias, os dois exactamente contrabalançam e o resultado é uma configuração estável;uma onda que se propaga sem qualquer alteração da forma.

(em construção)

Protocolo

O projecto experimental consiste na elaboração duma tina de “plexi-glass” com um sistema de comportas de abertura/fecho automático(controlado electronicamente por via informática) que viabilizam a geração de Ondas Solitárias/Solitões e pemitem o estudo das propriedades das mesmas. Através das equações de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries, foram feitas Previsões/Simulações Numéricas do que se sucede na tina. Assim, se se quiser pensar em termos de objectivos, o mais estrito consiste na comparação/corroboração das leis de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries(KdV) e o objectivo mais lato visa a que qualquer pessoa que esteja interessada no fenómeno Onda Solitária/Solitão, através da “página da Web” criada, possa realizar a experiência em “directo” e confirme ela própria as mesmas leis!

Esquema simplificado da tina elaborada para o intuito:

Esquema da tina dos solitões.

Legenda:

  • A1= 0,06 m
  • A2=A3=0,03 m
  • h=0,03 m
  • B1=0,08 m
  • B2=0,12 m
  • B3=0,13 m
  • Δx =3,80 m
  • H=0,14 m
  • γ=0,2 m

(em construção)

Modelo teórico avançado

O modelo teórico da onda solitária/Solitão por D.J. Korteweg e Hendrik de Vries (KdV)

Para prever o fenómeno “Solitão” no nosso projecto, isto é, por forma a obter uma simulação teórica do que se irá passar experimentalmente foram utilizadas as equações de D.J. Korteweg e Hendrik de Vries.

Suposições/Considerações iniciais essenciais(Axiomática)

Assume-se que o líquido é homogéneo, incompressível e sem viscosidade. Esta última consideração (viscosidade=0) está longe de ser verdadeira para qualquer líquido que exista na realidade.

Assume-se também que o líquido está contido numa tina segundo o eixo dos xx, a um nível z=h e com uma largura constante \( \Delta y = \gamma \). O líquido está sujeito a uma força gravitacional (g) e a uma pressão atmosférica (pa) constante que actua na superfície livre do líquido. Ignorando-se os efeitos de tensão superficial do líquido (tendo em conta as ordens de grandeza da tina de água do nosso projecto), considera-se que o movimento do líquido segundo estas forças é irrotacional.

Esquema da tina dos solitões.

Equações de ondas (Teoremas)

Admitem-se ondas de uma dimensão que se propagam ao longo da tina. Designa-se por \( \eta (x, t) \) ao deslocamento vertical no mesmo tempo t da partícula do líquido na superfície livre que se encontra em x quando está em equilíbrio.

As suposições anteriores não são suficientes para especificar a forma e o comportamento destas ondas. Para definir as soluções tem que se ter em consideração os valores relativos de três comprimentos característicos:

  • O deslocamento vertical típico \( \bar{\eta} \): a amplitude da onda;
  • a dimensão típica horizontal da onda (l);
  • nível de água de referência-profundidade (h)


Se \( \bar{\eta} < 1 \) (caso clássico de dispersão linear), obtém-se a seguinte relação de dispersão:

[math] \omega ^2 = kg + tanh (kh) \label{eq:dispersao} [/math]

onde k é o número de onda e \( \omega \) é a frequência ângular.

Considerando ondas de água de pequena profundidade, isto é , k.h(ou h/l) pequenos, a relação de dispersão, a equação \ref{eq:dispersao}, escreve-se:

[math] \omega = c _0 \left[ k - \frac{h^2}{6} k^3 + ... \right] \quad com \quad c _0 = \sqrt{g h} \label{eq:desenvolv-serie} [/math]

Se a profundidade é muito pequena( \( h \rightarrow 0 \) ), o desenvolvimento em série anterior (equação \ref{eq:desenvolv-serie}) pode ser truncado no termo de primeira ordem, ficando-se com a bem conhecida expressão das ondas não-dispersivas de pequena amplitude com velocidade \( c _0 \):

[math] \omega = c_0 k [/math]

À medida que o valor de k.h aumenta, o termo de terceira ordem da relação \ref{eq:desenvolv-serie} tem de ser incluído e então as ondas tornam-se dispersivas, correspondendo a um dos termos da equação kdV (O termo dispersivo da equação KdV).

O outro termo importante da equação KdV é o termo que lhe confere a não-linearidade, que surge quando o termo h/?h é incluído (O termo não-linear da equação KdV). Este termo fornece uma correcção à velocidade (tornando-se uma função crescente da amplitude), dada por:

[math] \label{eq:correc-velocidade} c = c _0 \left( 1 + \frac{3 \eta}{2 h} \right) [/math]

Em suma, a equação KdV é obtida considerando-se as seguintes suposições/condições:

  1. Ondas de pequena amplitude: \( \epsilon _1 \equiv \frac{\bar{\eta}}{h} < 1 \)
  2. Ondas compridas: \( \epsilon _2 \equiv (\frac{h}{l}) ^2 < 1 \)
  3. \( \epsilon _1 \) e \( \epsilon _2 \) têm a mesma ordem de grandeza(os fenómenos 1 e 2 contrabalançam-se). De forma mais simplificada, cria-se o Número de Ursel, dado por: \( U \equiv \frac{\epsilon _1}{\epsilon _2} = \frac{\bar{\eta} l ^2}{h ^3} \) e garante-se que este seja de ordem de grandeza 1, isto é \( U = O(1) \)

Considerando-se estas suposições, obtém-se então a equação KdV que descreve ondas que se deslocam no sentido positivo do eixo dos xx:

[math] \eta _t + c _0 \eta _x + (\frac{3 c_0}{2 h}) \eta \eta _x + (\frac{c _0 h ^2}{6}) \eta _{xxx} = 0 \quad com \quad \eta _{x'} = \frac{\partial ^i \eta}{\partial x ^i} \quad e \quad \eta _t = \frac{\partial \eta}{\partial t} \label{eq:kdv} [/math]

Observando a equação KdV \ref{eq:kdv} e estabelecendo uma analogia com as equações \ref{eq:desenvolv-serie} e \ref{eq:correc-velocidade} verificam-se então os termos dispersivo \( \frac{c _0 h ^2}{6}) \eta _{xxx} \) e não-linear \( \frac{3 c_0}{2 h}) \eta \eta _x \), respectivamente.

As ondas solitárias surgem da equação \ref{eq:kdv} e resultam da competição entre os termos dispersivo e não-linear. Sob certas circunstâncias, os dois exactamente contrabalançam e o resultado é uma configuração estável; uma onda que se propaga sem qualquer alteração da forma. A solução de onda solitária resultante da equação KdV específica analiticamente a forma da onda.

[math] \label{eq:onda-solitaria} \eta (x,t) = h + \eta _0 sec h^2 \left( \frac{x - ct}{L} \right) [/math]

Em que \( \eta _0 \) é a amplitude máxima da onda, c é a sua velocidade dada por

[math] \label{eq:velocidade} c _0 (1+ \frac{\eta _0}{2 h}) [/math]

e L é o comprimento característico da onda, dado por

[math] \sqrt{ \frac{4 h ^3}{3 \bar{\eta}} } [/math]

Assim, uma onda solitária tem a forma singular de “sino”, muito diferente do caso dos “pacotes” de onda com a forma de seno, características do caso linear. Estabelecendo-se uma identificação termo a termo entre os três comprimentos característicos (\( \bar{\eta} \), l, h) pressupostos para a equação KdV e as grandezas (\( \eta _0 \), L, h) resultantes da solução da mesma(equação KdV), isto é:

\begin{align} \label{eq:sistema} \bar{ \eta} &= \eta _0 \\ l &= L \\ h &= h \end{align}

e substituindo as grandezas resultantes do último sistema \ref{eq:sistema} nas expressões referentes às condições 1. e 2. e na expressão do número de Ursel, referente à condição 3., obtém-se que

\begin{align} \label{eq:sistema2} (1) \quad \epsilon _1 &= \frac{\eta _0}{h} < 1 \\ (2) \quad \epsilon _2 &= \frac{3}{4} \frac{\eta _0}{h} < 1 \\ (3) \quad U &= \eta _0 \frac{4 h ^3}{3 \eta _0 h ^3} = \frac{4}{3} = 1,(3) \simeq 1 \quad (Teorico) \end{align}

mostrando-se desta forma a concordância entre a solução obtida e as três condições de validade impostas quando se formulou a equação KdV. Esta solução é obtida analiticamente, tratando-se então da solução teórica geral e pelo que o valor do número de Ursel obtido é o valor óptimo(teórico).

Uma contribuição muito importante para o desenvolvimento da teoria dos solitões foi dada por Gardner, que mostrou que se a forma inicial da onda é “suficientemente localizada” a solução analítica é facilmente obtida.A solução prevê que se o Volume inicial é não-negativo, a onda extende-se num ou mais solitões e numa cauda dispersiva “radiativa”.

Estes resultados são obtidos através do designado método de scattering inverso cujo problema é reduzido na obtenção dos estados próprios da equação de Schroedinger com um “potencial gerador” que tem a forma inicial da onda geradora, invertendo-se o sinal. Existe uma correspondência injectiva entre os estados ligados e os solitões que assimptoticamente se extendem da onda inicial geradora, e entre os estados de scattering e os da cauda radiativa dispersiva.

O número total (N) de solitões que se formam dependem da forma de onda inicial que os gera e do nível de referência de água(h). As ondas geradoras de solitões que se criam na tina são ondas de forma quadrada de comprimento B e altura A, tal como se pode constatar na figura seguinte


Esquema da tina dos solitões.

Tal como se pode observar da figura, o canto mais próximo da tina actua como um plano de reflexão para a onda, pelo que a onda inicial quadrada gera um solitão, cuja expressão matemática que o define é dada por \ref{eq:onda-solitaria}:

[math] \eta (x,t) = h + \eta _0 sec h^2 ( \frac{x-ct}{L} ) [/math]

e em que pelo que foi referido

\begin{align} \label{eq:sistema3} \eta _0 &= \frac{A _i}{2} \\ L &= 2 B _i \\ h &= h \end{align}

em conta este sistema \ref{eq:sistema3} e o sistema \ref{eq:sistema}, obtém-se que:

\begin{align} \label{eq:sistema4} \bar{ \eta} &= \frac{A _i}{2} \\ l &= 2 B _i \\ h &= h \end{align}

Substituindo agora o sistema \ref{eq:sistema4} nas expressões referentes às condições 1. e 2. e na expressão do número de Ursel referente à condição 3., obtém-se que:

\begin{align} \label{eq:sistema5} (1) \quad \epsilon _1 &= \frac{A_i}{2h} \\ (2) \quad \epsilon _2 &= ( \frac{h}{2B} ) ^2 \\ (3) \quad U &= \frac{2 A_i B_i ^2}{h ^3} \quad (Experimental) \end{align}

Como se constata da condição (3) o número de Ursel experimental é função dos valores de A e B da onda quadrada gerada inicialmente para cada uma das comportas i da tina. Assim, para cada uma destas(comportas i) correspondem os respectivos valores experimentais do número de Ursel que são diferentes do valor teórico óptimo(U=4/3). De forma a garantir a aplicabilidade das equações de KdV e desta forma garantir-se a visualização do fenómeno onda solitária/solitão na tina de água é necessário que se verifiquem as condições (1) e (2) pressupostas na formulação da equação KdV e simultaneamente a condição (3). Devido aos condicionalismos “físicos” na tina, verificar a condição (3) corresponde na prática a que os valores experimentais do Número de Ursel não se afastem muito do valor teórico óptimo.

Se a onda quadrada inicial gerar mais do que um solitão, o número de solitões (N) que se forma é dado por

[math] \label{eq:n} N = 1 + Int \left( \frac{S}{\pi} \right), \quad S = \sqrt{ \frac{3 \eta _0}{2h}} \frac{L}{h} [/math]

em que Int é a parte inteira do número.

Neste caso, a expressão matemática que os define é dada por:

[math] \label{eq:eta-n} \eta _N (x,t) = h + \frac{2N(N+1)h^3}{3L ^2} sech^2(\frac{x-ct}{L}) [/math]

cuja solução óptima ( \( U=\frac{4}{3} \) ) à semelhança do que acontece para a expressão \ref{eq:onda-solitaria} é dada quando:

\begin{align} \bar{ \eta} &= \eta _0 \\ l &= L = \sqrt{ \frac{4 h^3}{3 \bar{ \eta}}} \\ h &= h \end{align}

e a solução experimental é definida para:

\begin{align} \bar{ \eta} &= \eta _0 = \frac{A _i}{2} \\ l &= L = 2 B _i \\ h &= h \end{align}

Considerando N=1 na expressão \ref{eq:eta-n} obtém-se o caso particular de solução de onda de uma solitária/solitão, isto é, a expressão \ref{eq:onda-solitaria} (como seria de esperar!).

Propriedades das Ondas Solitárias/Solitões

Através da equação KdV e da teoria de solitões anteriormente apresentada é então possível prever as seguintes propriedades dos solitões que serão posteriormente comparadas com as características das ondas solitárias/solitões obtidos através das actividades experimentais que se pretendem implementar na prática (projecto - tina de água):

  • Através duma perturbação inicial de volume não negativo(suficientemente localizada) é gerada pelo menos uma onda solitária, cuja forma de onda é dada por \ref{eq:eta-n} e que particularmente relaciona a amplitude da onda, comprimento e velocidade;
  • Depois da onda solitária ter atingido o estado estável, a forma da onda não varia;
  • O número de ondas solitárias que se formam a partir da onda quadrada é dado por \ref{eq:n};
  • As ondas solitárias são seguidas por uma cauda dispersiva;
  • A velocidade das ondas solitárias depende linearmente com a sua amplitude, tal como se prevê em \ref{eq:velocidade};
  • Dado que ondas solitárias de amplitude maior possuem velocidades maiores, estas extendem-se em grupos ordenados do maior para o menor;
  • Existe estabilidade durante a colisão entre duas ondas solitárias que se propaguem na mesma direcção, dado que estas são solitões. Esta colisão pode ser obtida lançando um solitão pequeno seguido de um maior. Este último solitão extende-se a uma velocidade maior que o solitão mais pequeno alcançando-o e ultrapassando-o A equação KdV prevê que as formas após a interacção permanecem inalteradas, registando-se apenas uma variação (“shift”) de fase ( avançado-se o mais rápido e recuando-se o mais lento). Mais precisamente, no caso da interacção de dois solitões de amplitudes \( \eta _{01} \) e \( \eta _{02} \)(com \( \eta _{01} < \eta _{02} \)) as variações de fase são dadas por:

[math] \delta _1 = \left( \frac{h}{c_1} \right) \left( \frac{1}{K_1} \right) ln \left[ \frac{(K_1 + K_2)}{(K_1 - K_2)} \right] [/math]

[math] \delta _2 = \left( \frac{h}{c_2} \right) \left( \frac{1}{K_2} \right) ln \left[ \frac{(K_1 + K_2)}{(K_1 - K_2)} \right] [/math]

em que \( K_i = \sqrt{ \frac{3 \eta _{0i}}{4h} } \)

em que \( c_i \) é dado pela expressão \ref{eq:velocidade} para cada um dos solitões.

  • Existe também estabilidade para a colisão frontal entre dois solitões. As duas ondas que colidem, propagam-se em direcções opostas e são descritas por duas equações KdV diferentes. Assim, esta estabilidade não é prevista pela equação KdV, pelo que nada leva a crer, teoricamente, que se trata de uma propriedade característica dos solitões.

(em construção)


Protocolo avançado

Sugestões para outros procedimentos que permitam estudar várias propriedades dos solitões.

  • Abrir em simultâneo a comporta 1 (com a comporta 2 inactiva/para cima) e a comporta 3 - fenómeno de colisão frontal
  • Abrir em simultâneo a comporta 2 (com a comporta 1 inactiva/para cima) e a comporta 3 - fenómeno de colisão frontal
  • Abrir em simultâneo a comporta 2 (com a comporta 1 activa/para baixo) e a comporta 3 - fenómeno de colisão frontal
  • Abrir em simultâneo a comporta 1 e 2 (com a comporta 3 inactiva/para cima) - fenómeno de colisão (ultrapassagem)
  • Abrir em simultâneo a comporta 1, 2 e 3 - fenómenos de colisão (ultrapassagem) e de colisão frontal
  • Abrir a comporta 2 e em seguida (“Lag” de Δt=0,5 s) abrir a comporta 1 (com a comporta 3 inactiva/para cima) - fenómeno de colisão (ultrapassagem)
  • Abrir a comporta 2 e em seguida (“Lag” de Δt=0,5s), em simultâneo, abrir a comporta 1 e a comporta 3 - fenómenos de colisão (ultrapassagem) e de colisão frontal
  • Abrir em simultâneo a comporta 2 e a comporta 3 e em seguida (“Lag” de Δt=0,5s) abrir a comporta 1- fenómenos de colisão (ultrapassagem) e de colisão frontal


Nota Histórica

Com a formulação da Mecânica Quântica no início do Século XX, foram estabelecidas relações entre as ondas e as partículas, encontrando-se desde então intimamente relacionadas para a Física teórica. Nos últimos anos foram surgindo outro tipo de relações entre elas. Estas, surgiram surpreendentemente da análise de certas equações de onda que não fazem parte da Mecânica Quântica, mas sim da Física Clássica. As soluções destas equações são ondas que não se dispersam, ao contrário de todas as famílias de ondas até então conhecidas, mantendo o seu tamanho e a sua forma indefinidamente. Estas ondas podem ser olhadas como quantidades de energia que se encontram permanentemente confinadas a uma determinada região do espaço e, apesar de poderem ser postas em movimento, não se dissipam por dispersão.

Dualidade Onda Corpúsculo

Propriedades das soluções das equações de onda (ondas que não se dispersam):

  • Quando duas ondas colidem, cada uma vem do encontro com a sua identidade intacta;
  • Se uma onda se encontra com uma “anti-onda” as duas podem ser aniquiladas;

Comportamentos deste tipo, sendo extraordinários em ondas, podem ser familiares noutro tipo de contexto. Isto é, um físico teórico perante uma descrição de um objecto com este tipo de propriedades designá-lo-ia por partícula.

Ondas que se propagam sem se dispersar eram designadas pela Hidrodinâmica por ondas solitárias ou solitões. O que tem sido descoberto recentemente é que ondas não dissipativas também surgem de algumas equações formuladas para descrever partículas elementares, pelo que o nome “onda solitária/ solitão” foi “exportado” da Hidrodinâmica para a Física das Partículas.

Partícula - Física das Partículas

Os solitões partilham um mecanismo particular de confinamento; não se dispersam devido a um constrangimento topológico. Estabelecendo-se uma analogia, os solitões não podem decair por dispersão assim como um nó apertado duma corda infinita não pode ser desfeito a menos que se corte a corda. Por enquanto, os solitões da Física de Partículas são apenas uma criação dos teóricos, cuja prova como realidade da Natureza ainda não foi demonstrada. Assim, tal como já foi referido, algumas das equações que descrevem as partículas elementares também admitem soluções de solitões, pelo que o solitão deveria evidenciar-se como uma nova partícula possuindo as seguintes características:

Uma massa muito grande, possivelmente milhares de vezes mais pesada que o protão; Cada solitão seria um monopolo magnético, um pólo magnético (Norte ou Sul); Mesmo que estas partículas não existam, os solitões podem surgir na realidade das Partículas Elementares com uma outra definição, isto é, como objectos confinados não só a uma região do espaço mas também a um momento no tempo. Estes solitões evanescentes designam-se por instantões. Tal como o solitão, o instantão é um objecto clássico com uma interpretação da Mecânica Quântica. É visto não como uma partícula mas como uma transição entre dois estados dum sistema. A manifestação do fenómeno é designada por “Tunneling”- Efeito de Túnel. Transições associadas aos instantões têm sido invocadas para explicar o padrão das massas das partículas que tem sido um longo e constante puzzle para os teóricos.

Os solitões de interesse na Física das partículas surgem das equações que descrevem campos, ou sistemas físicos que são expansíveis no espaço. Um campo atribui a cada ponto do espaço uma quantidade específica, como por exemplo um potencial eléctrico. Muitas vezes, mais do que uma quantidade específica é definida para cada ponto. Os valores podem variar de ponto para ponto e de instante para instante, mas tem de ser uma variação progressiva e contínua. O campo mais familiar é o campo electromagnético, descrito pelas equações de campo por James Clerk Maxwell. Na teoria de Maxwell seis valores são atribuídos a cada ponto do espaço, representando as componentes do campo Eléctrico e Magnéticos ao longo dos três eixos ortogonais. A Gravitação também é descrita por equações de campo, ou seja, pelas equações de campo da Teoria Geral da Relatividade. A superfície de água num tanque pode ser vista como um modelo de um campo a duas dimensões. A quantidade específica a cada ponto é a posição vertical (altura em relação a um nível de referência). Uma onda que se desloque sobre a superfície da água insurge-se como uma perturbação do campo.

Ondas - Hidrodinâmica

De forma a perceber o que existe de extraordinário em relação às ondas que não se dispersam, é necessário considerar-se uma onda ordinária, dissipativa, tal como aquela que é gerada quando se deixa cair uma pedra num tanque de água. A onda originada tem a forma de um anel com a origem no “epicentro” que se expande pela superfície da água no tempo. Numa observação mais cuidada, verifica-se que a perturbação se vai tornando menos pronunciada à medida que se vai afastando da origem e, eventualmente estagnando-se completamente. Um dos factores mais importantes neste decaimento das ondas de água é a viscosidade do meio, como manifestação do “atrito”.

Os solitões como ondas que se propagam num meio (com um dado factor de viscosidade) também sofrem de dispersão, mas este factor é cancelado por fenómenos de compensação. A compensação é apenas possível para uma certa classe de ondas, aquelas cujas equações de movimento são designadas por não-lineares, verificando-se então a não linearidade das equações de onda dos solitões. A propagação destas ondas é influenciada não só pela forma da perturbação como também pela sua amplitude.

A primeira observação registada do fenómeno Solitão foi efectuada por John Scott Russell (Engenheiro e Arquitecto Naval) há mais de 150 anos, que escreveu uma carta à Associação Britânica para o Desenvolvimento da Ciência (B.A.A.S.) transmitindo o que tinha observado. Scott Russel propôs que a estabilidade das ondas que tinha observado resultava das propriedades intrínsecas do movimento das ondas, mais do que propriamente das circunstâncias da sua geração. Esta forma de analisar o fenómeno não foi imediatamente aceite. Contudo, em 1895, D.J.Korteweg e Hendrik de Vries forneceram um tratamento completo analítico das equações diferenciais parciais não-lineares (equações KdV) em Hidrodinâmica que descrevem o fenómeno onda solitária, mostrando que as ondas não-dissipativas localizadas podiam existir. O seguinte passo importante foi dado 70 anos depois, por Zabusky e Kruskal que simularam computacionalmente a colisão de duas ondas solitárias, descritas pela equação KdV. Até então acreditava-se fortemente que a colisão de duas ondas solitárias seria uma interacção tão forte (e tão não-linear) que aniquilar-se-iam uma à outra. Os resultados surpreendentes de Zabusky e de “Kruskal” foram que as ondas após a colisão surgiam com as suas formas e velocidades inalteradas.


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