Pêndulo Mundial

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Descrição

Decolagem da Soyuz na Guiana francesa @ 4º00´ a norte do equador.

Os foguetões são enviados para o espaço a partir de latitudes equatoriais. Isto é principalmente devido ao facto da aceleração da gravidade ser gradualmente reduzida desde os pólos até o equador. Efectivamente sentir-nos-emos mais leves no equador do que nos pólos!

É esta ligeira diferença que permite poupar toneladas de combustível quando um foguete é lançado em órbita a partir do equador.

O objetivo desta experiência é determinar em vários pontos do globo a “constante da gravidade” através duma constelação de pêndulos colocados em várias latitudes e operados remotamente por qualquer pessoa através da internet. Espera-se que vários países da CPLP possam contribuir para esse esforço, aproximando estudantes, professores e cidadãos interessados no conhecimento físico do nosso planeta.

Lisboa, Ilhéus e Rio de Janeiro serão as primeiras cidades já a partir de Janeiro de 2013 a receber os pêndulos, permitindo efectuar um ajuste dos dados experimentais à equação teórica que descreve a variação da gravidade com a latitude.

Quem gosta desta iniciativa

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Aparato experimental

Os pêndulos utilizados nas experiências são baseados no desenho do Dr. Jodl [1]. Algumas alterações menores foram introduzidas ao nível do manuseamento da massa e na adaptação a materiais simples de encontrar de forma a permitir a replicação em escolas secundárias (ensino médio). Os dados seguintes foram utilizados na sua construção:

Exemplo de pêndulo utilizado para a determinação da aceleração da gravidade.
Suporte do cabo de ligação à massa que permite evitar alongamentos indesejados durante as oscilações. O cabo é fixo ou com uma agulha de seringa endovenosa ou com um parafuso M4 de latão perfurado interiormente a 1mm.

Comprimento do cabo (excluindo a esfera)

2705mm +/- 0.5mm

Massa da esfera

2kg +/- 75g

Raio da esfera

81.5mm +/-0.2mm

Cabo

Remanium(r) - (Nickel-chromium) - 0,4mm

Módulo de elasticidade do cabo

~200GPa

Cronómetro

Microcontrolador com cristal de 7,3728MHz - 30ppm + laser + PIN foto-díodo

Coeficiente expansão térmica do cabo (25-500ºC)

~14 x 10-6 K-1

A montagem experimental pode ser facilmente adaptada à operação humana para execução local, realizada apenas com o auxilio de um bom cronómetro. As estruturas de aço inox podem ser realizadas em latão ou bronze facilitando a sua talha.

O cabo empregue pode ser substituído por cabo de aço de pesca desportiva e a massa adquirida numa loja de desporto, tendo sido empregue neste caso uma de 2kg do treino do lançamento do peso olímpico. Deve ser utilizado uma fita-métrica calibrada para medir o comprimento do cabo depois de utilizar o sistema por alguns dias.

Parceiros locais

O pêndulo [2] é um dos dispositivos experimentais com maior riqueza física apesar da sua simplicidade. Efetivamente só a medida do seu cabo e a sua qualidade e dos apoios são relevantes para a construção precisa do instrumento.

Seleccionando uma massa entre 1 a 4 kg, o erro relativo ao período será suficientemente pequeno para se detetar as variações requeridas na aceleração da gravidade (inferiores a 0,1%) desde que se use um cronómetro preciso.

Uma montagem local pode ser realizada facilmente com recursos a materiais simples de encontrar e comparado o valor determinado para o "g" local com os da constelação remota de pêndulos.

A colecção destes dados através duma rede social permitirá fazer uma descrição mais precisa da variabilidade de g's em torno do globo. O "pendulo mundial" poderá ser uma importante rede colaborativa para a disseminação e o envolvimento da física nas escolas.

A construção do pendulo está detalhada em Precision Pendulum.


Física

A determinação da aceleração da gravidade em diferentes partes do globo levanta questões sobre a importância da modelização em física. Partindo do principio que a força da aceleração é constante ao nível do mar, pode-se mostrar contudo que que esta "constante" varia ligeiramente com a latitude e tem por isso de ser corrigida consoante o lugar onde nos encontramos. Este processo permite desmistificar a ciência e corrigir o "mito urbano" existente em torno de muitas constantes que só o são com muitas aproximações. Neste caso particular mostraremos como a introdução de correcções sucessivas à "constante da gravidade" levará a valores mais próximos dos estimados experimentalmente.

O ponto de partida é a aproximação do modelo geofísico da Terra, como sendo (i)uma esfera (ii) não-rotante cuja aproximação mais conhecida atribui o valor de 9,82 m/s2. É trivial notar que este modelo, devido à simetria da esfera, leva a valores uniformes em qualquer latitude da Terra. Mas assim que introduzimos a dinâmica do movimento terrestre aperceber-nos-emos que este valor passa a depender da latitude bem como se considerarmos a terra um elipsóide devido ao achatamento nos pólos. Com efeito estes dois aspetos são as principais causas do desvio da "constante da gravidade" com a latitude [1] e superam todos os outros efeitos tais como (i) a altitude do lugar, (ii) as marés ou (iii) a constituição do sub-solo próximo ao lugar.

Para demonstrar estes aspetos mais finos, a aceleração da gravidade tem de ser determinada em várias latitudes sobre o globo e bastante afastadas entre si. Com estas medidas obtidas em rede, os alunos poderão questionar-se sobre a "constante" e interpretar melhor a força da gravidade.


A CPLP como "provedor de latitude"

Gráfico com a aceleração da gravidade a determinar pela rede. São Tomé e Príncipe está mesmo sobre o equador. O valor de Lisboa já foi estabelecido experimentalmente.

A língua é um fator importante da nacionalidade ("a minha pátria á a língua portuguesa", F. Pessoa) e uma maneira simples de definir os chamados "países irmãos". Na prática só quatro línguas estão disseminadas no globo, sendo uma delas o português. Naquilo que nos interessa, o português cobre latitudes de ~30ºS a ~42ºN, quase 75º de variação sobre o equador. Deste modo os países da CPLP poderão servir como "provedores de latitude" (ver figura).

Para realizar esta experiência e ajustar pontos relevantes à nossa curva experimental precisaremos de pelo menos quatro pontos espaçados em latitude. Mas devido à não-linearidade da equação mais pontos serão convenientes para obter um ajuste firme, principalmente em torno do "joelho" nas latitudes de 10º-30º. Só o Brasil por si permite obter grade parte deste conjunto de pontos (Recife 8º, Salvador – 12º, Rio de Janeiro – 23º, Porto Alegre – 30º) mas não permite suprir os pontos onde a aceleração da gravidade varia mais rapidamente, a região quase linear entre 30º e 60º onde Portugal pode contribuir com dois pontos, por exemplo 37º e 41º. Moçambique e Angola podem contribuir com pontos redundantes próximos ao equador e S. Tomé e Príncipe, Brasil e Cabo Verde com valores equatoriais.


Ajuste experimental

Na referência [2] está descrita o modelo matemático do pêndulo bem como em inúmeras outras fontes. Se forem tidas em conta todas as influencias significativas a equação harmónica na latitude que resulta pode ser expressa por: \[ g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \] onde \(\varphi\) é a latitude do lugar. Esta expressão é uma das que melhor ajusta os resultados experimentais de acordo com o "World Geodetic System datum surface (WSG84)", considerando a terra como um elipsóide de raio r1=6378137m no equador e r2=6356752m como o raio semi-menor polar.

Propõe-se que se derive pelo menos a correção devido à força centrífuga e do achatamento dos pólos.

Variabilidade do período com o tempo decorrido e consequentemente com a amplitude.(ângulo < 7,5º) demonstrando que o erro é inferior a 0,05%.

Na figura mostra-se o desvio da "constante da gravidade", ou seja o valor real em função da latitude. Estão marcadas as latitudes de alguns possíveis parceiros. Houve a preocupação de evitar que qualquer erro experimental excedesse os 0,05%, tendo em conta um desenho preciso da montagem experimental de forma a conseguir obter a precisão final mínima de 0,1% para poder comparar os dados.


Bibliografia

  1. 1.0 1.1 World pendulum—a distributed remotely controlled laboratory (RCL) to measure the Earth's gravitational acceleration depending on geographical latitude, Grober S, Vetter M, Eckert B and Jodl H J, European Journal of Physics - EUR J PHYS , vol. 28, no. 3, pp. 603-613, 2007
  2. 2.0 2.1 Physics for scientists and engineers, 5th edition, Hardcourt College Publishers, R.Serway and R. Beichner, 2000


[3] http://rcl-munich.informatik.unibw-muenchen.de/, 10/2012

[4] Nelson, Robert; M. G. Olsson (February 1987). "The pendulum - Rich physics from a simple system". American Journal of Physics 54 (2): doi:10.1119/1.14703

[5] Pendulums in the Physics Education Literature: A Bibliography, Gauld, Colin 2004 Science & Education, issue 7, volume 13, 811-832 (http://dx.doi.org/10.1007/s11191-004-9508-7)

[6] The exact equation of motion of a simple pendulum of arbitrary amplitude: a hypergeometric approach, M I Qureshi et al 2010 Eur. J. Phys. 31 1485(http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/31/6/014)

[7] A comprehensive analytical solution of the nonlinear pendulum, Karlheinz Ochs 2011 Eur. J. Phys. 32 479 (http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/32/2/019)


Ligações