Difference between revisions of "Gamma"

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Esta experiência é constituida por uma seringa de vidro com 20 ml de volume cujo êmbolo está lubrificado com grafite. O êmbolo é posicionado num volume inicial de referência após o qual uma válvula isola esse volume do exterior.
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Um motor de passo permite efectuar a operação de seleção do volume e também provocar uma pequena oscilação inicial que origina a oscilação amortecida do êmbolo. Antes da válvula está instalado um transdutor de pressão absoluta e um microfone de eletreto que permitem determinar respetivamente a pressão absoluta no interior da seringa e o período das oscilações.</div>
 
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Se considerarmos um êmbolo sem atrito a oscilar livremente num cilindro de volume \( V_0 \), à pressão \( p \), então a força exercida no mesmo ( \( m \ddot{y} \) ) corresponde à gravidade ( \( mg \) ) menos a variação de pressão que se exerce na área do êmbolo ( \( A \Delta p \) ).
 
Se considerarmos um êmbolo sem atrito a oscilar livremente num cilindro de volume \( V_0 \), à pressão \( p \), então a força exercida no mesmo ( \( m \ddot{y} \) ) corresponde à gravidade ( \( mg \) ) menos a variação de pressão que se exerce na área do êmbolo ( \( A \Delta p \) ).
  
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\Delta p = \frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0}
 
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pV^{\gamma} = p_0 V_0 ^{\gamma}, \quad p = \frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma} }  
 
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Das equações acima vem que:
 
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\frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0} = - \gamma frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma +1} } | _{V = V_0} = - \gamma \frac{p_0}{V_0}  
 
\frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0} = - \gamma frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma +1} } | _{V = V_0} = - \gamma \frac{p_0}{V_0}  
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-mg+ A (- \gamma \frac{p_0}{V_0} \Delta V) = m \ddot{y} , \text{ onde } \Delta V = Ay
 
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pelo que, simplificando,
 
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\ddot{y} + \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} y+g = 0
 
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\gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} = \omega ^2, \text{ de modo que } \ddot{y} + \omega ^2 y + g = 0
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Alterando a coordenada de origem para a posição de equilíbrio do êmbolo, facilmente se identifica esta equação com a equação do movimento dum oscilador harmónico sem atrito
 
Alterando a coordenada de origem para a posição de equilíbrio do êmbolo, facilmente se identifica esta equação com a equação do movimento dum oscilador harmónico sem atrito
  
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\ddot{y}' + \omega ^2 y' = 0 \text{ com } y = y' - \frac{g}{\omega ^2} \text{ e } \omega ^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0}
 
\ddot{y}' + \omega ^2 y' = 0 \text{ com } y = y' - \frac{g}{\omega ^2} \text{ e } \omega ^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0}
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Medindo o período de oscilação, T, determina-se \( \gamma \)
 
Medindo o período de oscilação, T, determina-se \( \gamma \)
  
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\gamma = \frac{4mV_0}{p_0 r^4 T^2}
 
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Latest revision as of 18:47, 24 May 2015


Descrição da experiência

Este laboratório permite determinar a razão entre os calores específicos do ar, a pressão constante e a volume constante, usando para o efeito as oscilações adiabáticas dum êmbolo num cilindro de dimensões conhecidas.

Ligações:

Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/gamma.sdp

Laboratório: Avançado em e-lab.ist.eu[1]

Sala de controlo: Cp/Cv

Nivel: ****

Aparato experimental

Esta experiência é constituida por uma seringa de vidro com 20 ml de volume cujo êmbolo está lubrificado com grafite. O êmbolo é posicionado num volume inicial de referência após o qual uma válvula isola esse volume do exterior.

Um motor de passo permite efectuar a operação de seleção do volume e também provocar uma pequena oscilação inicial que origina a oscilação amortecida do êmbolo. Antes da válvula está instalado um transdutor de pressão absoluta e um microfone de eletreto que permitem determinar respetivamente a pressão absoluta no interior da seringa e o período das oscilações.

Protocolo

O método de Ruchhardt’s para determinar a razão entre o calor especifico a pressão constante e o calor específico a volume constante dum gás é bastante preciso, mas tem uma elevada sensibilidade à medida do período das oscilações. Devido a esse facto recomenda-se desde já um grande cuidado na determinação do período, sendo para tal utilizados dois métodos: a forma da onda captada pelo transdutor de pressão e o período médio determinado digitalmente. Estes dados devem ser utilizados de uma forma crítica, explorando ao máximo a informação que fornecem. A experiência é constituída por uma seringa, cujo êmbolo tem atrito reduzido por estar lubrificado com grafite e pelo facto da montagem estar colocada numa posição vertical. Seleccionado um volume de referência, o êmbolo de 26,4 gr. e 18.9 mm de diâmetro é perturbado por forma a oscilar livremente em torno da sua posição de equilibrio.

Do período de oscilação pode ser inferido \( \gamma \).

Protocolo Avançado

Efectuando a experiência para vários volumes, pode-se ajustar a melhor função utilizando mais do que um parâmetro. Utilizando como variáveis livres não só g mas também o volume e a pressão, poder-se-á melhorar a precisão da medida, uma vez que a pressão atmosférica pode ter variações da ordem de 1% e porque a medida do volume tem um erro sistemático devido às várias conexões externas à seringa. Note-se que a massa do pistão e o seu diâmetro foram medidos com uma precisão de 0,5%.

Análise de Dados

Ao se usar Fitteia, pode fazer-se o ajuste de uma função com determinados parâmetros aos dados experimentais. Este ficheiro é um exemplo de um ajuste para esta experiência (botão direito no link e "Guardar Como").

Princípios Teóricos

Método de Ruchhardt

Este método permite determinar experimentalmente a razão entre o calor especifico a pressão constante e o calor específico a volume constante dum gás. Se este gás for atmosférico (maioritariamente diatómico) então essa relação deve ser próxima de 1,4. Se considerarmos um êmbolo sem atrito a oscilar livremente num cilindro de volume \( V_0 \), à pressão \( p \), então a força exercida no mesmo ( \( m \ddot{y} \) ) corresponde à gravidade ( \( mg \) ) menos a variação de pressão que se exerce na área do êmbolo ( \( A \Delta p \) ).

[math] -mg+A \Delta p = m \ddot{y} [/math]

Ora a variação de pressão para pequenas variações de volume é dada por:

[math] \Delta p = \frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0} [/math]

e se considerarmos o fenómeno suficientemente rápido não ocorrerão trocas de calor (fenómeno adiabático)

[math] pV^{\gamma} = p_0 V_0 ^{\gamma}, \quad p = \frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma} } [/math]

Das equações acima vem que:

[math] \frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0} = - \gamma frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma +1} } | _{V = V_0} = - \gamma \frac{p_0}{V_0} [/math]

e

[math] -mg+ A (- \gamma \frac{p_0}{V_0} \Delta V) = m \ddot{y} , \text{ onde } \Delta V = Ay [/math]

pelo que, simplificando,

[math] \ddot{y} + \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} y+g = 0 [/math]

Seja

[math] \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} = \omega ^2, \text{ de modo que } \ddot{y} + \omega ^2 y + g = 0 [/math]

Alterando a coordenada de origem para a posição de equilíbrio do êmbolo, facilmente se identifica esta equação com a equação do movimento dum oscilador harmónico sem atrito

[math] \ddot{y}' + \omega ^2 y' = 0 \text{ com } y = y' - \frac{g}{\omega ^2} \text{ e } \omega ^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} [/math]

Medindo o período de oscilação, T, determina-se \( \gamma \)

[math] \gamma = \frac{4mV_0}{p_0 r^4 T^2} [/math]

onde r é o raio do cilindro.