Conservação do Momento Angular
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Descrição da Experiência
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.
Aparato Experimental
O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador e respetivo disco. Um segundo disco é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.
O motor do aparato pode ser usado como um gerador estando equipado com um conjunto de 3 resistências usado como travão eletromagnético comandado por um microcontrolador. A característica de corrente&voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.
Protocolo - Conservação do Momento Angular
Um disco com 115g no total é acelerado pelo motor do disco rígido até atingir a velocidade angular pré-selecionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, os discos ficam a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente o servo deixa cair sobre o disco em rotação um disco com 69g no total inicialmente em repouso.
Os resultados da experiência são fornecidos e traçados gráficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.
A Figura1 é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o discos suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.
Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação no instante em que os discos que caem deixam de deslizar sobre os que estavam em rotação.
Física
Usando as seguintes quantidades:
L - momento angular
I - momento de inércia
ω - velocidade angular
m - massa em rotação.
Tem-se para a conservação do momento angular:
$L_i=L_f$
$I_i \omega_i=I_f \omega_f$
$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$
$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$
$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$
Obtém-se experimentalmente
$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$
enquanto que pela razão das massas
$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$
Fazendo um desvio à exatidão
$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$
Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.
Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=13mm, r_2=47mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).
$I_i \omega_i=I_f \omega_f$
$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$
Resolvendo em ordem a $I_m$
$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$
Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia
Um disco com 115g no total é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular selecionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, os discos ficam a rodar livremente sendo a sua velocidade e a tensão entre duas fases do motor adquiridas. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento (Figura 3). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão e velocidade em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.
As Figuras 2 e 4 são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travam eletromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.
Fazendo um ajuste aos primeiros dados da Figura 2 gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma reta cujo declive nos permite extrapolar a perda de velocidade angular do motor para qualquer valor. Mais tarde permitirá calcular diferencialmente a perta instantânea do momento devido à componente do atrito mecânico.
Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.
$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$
A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:
$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$
em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.
A energia perdida por atrito será
$\Delta E_{atrito}=Iw_{exp}\left(w_{2s/atr}-w_{1s/atr}\right)$
em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{2s/atr}$ e $w_{1s/atr}$ são a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.
A potência dissipada corresponde a
$P=VI=\frac{V^2}{R}$
A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a
$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$
Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.
$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$
$P=\frac{V^2}{R}$
A energia dissipada será:
$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$
Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.
O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:
$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$
Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.
Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.
A Figura 5 ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.
Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:
$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$
Fazendo um desvio à exactidão:
$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$
Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por 7%. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor.
