Difference between revisions of "Détermination de la constante adiabatique d'air"
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Latest revision as of 10:11, 6 April 2018
Contents
Description de l'expérience
Le but de cette expérience est la détermination du rapport entre la chaleur spécifique de l'air
(pression constante et volume constant), grâce à l'utilisation d'oscillations adiabatiques d'un embole
de dimensions connues.
Links
- Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt:554/gamma.sdp
- Laboratory: Advanced in e-lab.ist.eu[1]
- Control room: Cp/Cv
- Level: ****
Appareil expérimental
L'appareil est composé d'une seringue dont l'embole pèse 26,4 grammes et a un diamètre de 18,9 mm.
L'embolie a réduit la friction due à la lubrification du graphite et le fait que l'appareil est en
position verticale.
Protocole
La méthode de Ruchhardt (voir ci-dessous) est un moyen très précis de déterminer la chaleur spécifique
d'un gaz, mais elle est très sensible à la mesure de la période d'oscillations. Pour cette raison, une
attention particulière est recommandée pour cette mesure et ainsi, deux méthodes sont utilisées pour
déterminer cette quantité: la forme d'onde enregistrée par le transducteur de pression et la période
moyenne, déterminées numériquement. Les données doivent être utilisées judicieusement, en explorant
toutes les informations qu'il peut donner. Après avoir sélectionné un volume de référence, l'embole est agité de sorte qu'il oscille librement
autour de la position d'équilibre. \ (\ gamma \) peut être déduit de la période d'oscillation.
Protocole avancé
En refaisant l'expérience pour plusieurs volumes, un meilleur ajustement peut être réalisé entre les
données expérimentales et la fonction théorique. Lors de l'ajustement des données expérimentales, en
laissant libre le paramètre \ (\ gamma \) ainsi que le volume et la pression, la précision de la mesure
peut être augmentée, la pression atmosphérique pouvant varier jusqu'à 1% et le volume mesuré avoir une
erreur systématique due aux diverses connexions externes à la seringue. Il convient de noter que la
masse du piston et le diamètre ont une précision de 0,5%.
Analyse des données
En utilisant Fitteia, vous pouvez tracer les résultats expérimentaux et ajuster une fonction
théorique avec certains paramètres. Ce fichier
[2] est un exemple d'ajustement de
cette expérience (faites un clic droit sur le lien et "Enregistrer sous") .
Principes théoriques
Avec cette méthode, il est possible de déterminer la ration entre la chaleur spécifique d'un gaz grâce à l'expérimentation. Si le gaz étudié est l'air atmosphérique (principalement diatomique), ce rapport devrait être de 1,4.
La méthode de Ruchhardt
Si l'on considère un piston sans frottement, oscillant librement dans un cylindre de volume \ (V_0 \),
avec pression \ (p \), alors la force exercée sur le piston (\ (m \ ddot {y} \)) est égale à force de gravité moins la variation de pression sur le piston (\ (A \ Delta p \)). [math] -mg+A \Delta p = m \ddot{y} [/math]
La variation de pression pour de petites oscillations de volume est:
[math] \Delta p = \frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0}\Delta V [/math]
si nous considérons un processus assez rapide pour éviter tout échange de chaleur (processus adiabatique)
[math] pV^{\gamma} = p_0 V_0 ^{\gamma}, \quad p = \frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma} } [/math]
De l'équation ci-dessus nous avons:
[math] \frac{\partial p}{\partial V} | _{V = V_0} = - \gamma \frac{ p_0 V_0 ^{\gamma} }{ V^{\gamma +1} } | _{V = V_0} = - \gamma \frac{p_0}{V_0} [/math]
et
[math] -mg+ A (- \gamma \frac{p_0}{V_0} \Delta V) = m \ddot{y} , \text{ where } \Delta V = Ay [/math]
simplifier
[math] \ddot{y} + \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} y+g = 0 [/math]
Nous faisons
[math] \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} = \omega ^2, \text{ so that } \ddot{y} + \omega ^2 y + g = 0 [/math]
En changeant le point d'origine à la position d'équilibre du piston, on peut facilement voir que c'est
l'équation pour le mouvement d'un oscillateur harmonique sans frottement
[math] \ddot{y}' + \omega ^2 y' = 0 \text{ with } y = y' - \frac{g}{\omega ^2} \text{ and } \omega ^2 = (\frac {2 \pi}{T})^2 = \gamma \frac{p_0 A^2}{m V_0} [/math]
En mesurant la période d'oscillation, \ (T \), on peut déterminer \ (\ gamma \)
[math] \gamma = \frac{4mV_0}{p_0 r^4 T^2} [/math]
où \ (r \) est le rayon du cylindre. Une estimation plus précise peut être obtenue en utilisant l'équation différentielle en considérant
l'effet de dumping causé par le frottement. Dans une telle situation, vous pourriez considérer que le frottement est proportionnel à la vitesse et conduit à:
[math] \ddot{y} + 2\lambda\omega \dot{y}+\omega ^2 y + g = 0 [/math]
Considérant à nouveau le changement d'origine, le résultat d'une telle équation conduit à:
[math] y' = y'_{0} e^{-\lambda \omega t}cos( \sqrt{1 - \lambda^2}\omega t + \phi) [/math] où la période entraîne une légère correction due au facteur de dumping.