Pêndulo Mundial

Descrição

Decolagem da Soyuz na Guiana francesa @ 5º a norte do equador.

Os foguetões são enviados para o espaço a partir de latitudes equatoriais. Isto deve-se ao facto do peso aparente ser gradualmente reduzido desde os pólos até o equador. Efectivamente sentir-nos-emos mais leves no equador do que nos pólos!

É esta ligeira diferença que permite poupar toneladas de combustível quando um foguetão é lançado em órbita a partir do equador. Por exemplo, o lançamento para uma orbita geoestacionária pela Soyuz a partir da Guiana Francesa (5ºN) permite colocar 3 toneladas(ton) em órbita ao invés das habituais 1,7 ton quando lançada de Baikonur no Cazaquistão (46ºN).

O objetivo desta experiência consiste em determinar em vários pontos do globo a “constante da gravidade” através duma constelação de pêndulos colocados em várias latitudes e operados remotamente por qualquer pessoa através da internet. Espera-se que vários países da CPLP possam contribuir para esse esforço, aproximando estudantes, professores e cidadãos interessados no conhecimento físico do nosso planeta. Existem duas atividades a decorrer em paralelo: (i) o acesso através do e-lab a pêndulos em várias latitudes e (ii) a construção e operação local em escolas com o apoio da comunidade do FQ em Rede.

Lisboa, Ilhéus, Faro e Rio de Janeiro foram as primeiras cidades a contribuir para a rede em Janeiro de 2013, permitindo efectuar um ajuste dos dados experimentais à equação teórica que descreve a variação da gravidade com a latitude.

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Ligações

• Video Faro: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/worldpendulum_ccvalg.sdp
• Video Lisboa: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/worldpendulum_planetarium.sdp
• Video Ilhéus: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/worldpendulum_ilheus.sdp
• Video Rio Janeiro: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/worldpendulum_puc.sdp
• Video Maputo: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/wp_epm.sdp
• Video São Tomé: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/wp_saotome.sdp
• Laboratório: Básico em e-lab.ist.eu
• Sala de controlo: Pêndulo Mundial
• Nível: *

Quem gosta desta iniciativa

Aparato experimental

Os pêndulos utilizados nas experiências são baseados no desenho do Dr. Jodl . Algumas alterações menores foram introduzidas ao nível do manuseamento da massa e na adaptação a materiais simples de encontrar de forma a permitir a replicação em escolas secundárias (ensino médio). Os dados seguintes foram utilizados na sua construção:

Exemplo de pêndulo utilizado para a determinação da aceleração da gravidade.

Suporte do cabo de ligação à massa que permite evitar alongamentos indesejados durante as oscilações. O cabo é fixo ou com uma agulha de seringa endovenosa ou com um parafuso M4 de latão perfurado interiormente a 1mm.

Caracteristícas físicas particulares
Local	Latitude	Longitude	Altitude (m)	Comprimento do fio (mm)	Diãmetro da esfera (mm)
CCV_Algarve/Faro	37º00'N	7º56'W	10 m	2677mm +/- 0.5mm @23ºC	80.5 +/- 1.0 mm
UESC/Ilhéus	14º47'S	39º10'W	220m	2705mm +/- 0.5mm @23ºC	80.5 +/- 1.0 mm
Lisbon	38º41'N	9º12'W	20m	2677mm +/- 0.5mm @19ºC	80.5 +/- 1.0 mm
Maputo	25º56'S	32º36'E	80m	2609.8mm +/- 0.5mm @27ºC	80.5 +/- 1.0 mm
São Tomé	0º21'N	6º43'E	50m	2756.5mm +/- 0.5mm @29ºC	81.8 +/- 0.5 mm
Prague - CTU	50º5.47N	14º24.97E	150m	2850mm +/- 0.5mm @25ºC	80.15 +/- 0.5 mm
Barcelona - UPC	41º24.6N	2º13.12E	55	2756.5mm +/- 0.5mm	81.8mm
Rio de Janeiro - PUC	22º54.13S	43º12W	50	2826,0mm +/- 0.5mm	81.6mm

Características nominais
Comprimento do cabo (raio da esfera não incluído!)	2705mm +/- 0.5mm
Massa da esfera	2kg +/- 75g
Diâmetro da esfera	81.2mm +/-1.5mm
Cabo	Remanium(r) - Stainless steel (Nickel chromium) - 0,4mm
Módulo de elasticidade do cabo	~200GPa
Cronómetro	Microcontrolador com cristal de 7,3728MHz - 30ppm + laser + PIN foto-díodo
Wire CTE (25-500ºC) (Coeficiente expansão térmico do cabo)	~14 x 10-6 K-1

A montagem experimental pode ser facilmente adaptada à operação humana para execução local, realizada apenas com o auxilio de um bom cronómetro. As estruturas de aço inox podem ser realizadas em latão ou bronze facilitando a sua talha.

O cabo empregue pode ser substituído por cabo de aço de pesca desportiva e a massa adquirida numa loja de desporto, tendo sido empregue neste caso uma de 2kg do treino do lançamento do peso olímpico. Deve ser utilizado uma fita-métrica calibrada para medir o comprimento do cabo depois de utilizar o sistema por alguns dias.

Parceiros locais

O pêndulo é um dos dispositivos experimentais com maior riqueza física apesar da sua simplicidade. Efetivamente só a medida do seu cabo e a sua qualidade e dos apoios são relevantes para a construção precisa do instrumento.

Seleccionando uma massa entre 1 a 4 kg, o erro relativo ao período será suficientemente pequeno para se detetar as variações requeridas na aceleração da gravidade (inferiores a 0,1%) desde que se use um cronómetro preciso.

Uma montagem local pode ser realizada facilmente com recursos a materiais simples de encontrar e comparado o valor determinado para o "g" local com os da constelação remota de pêndulos.

A colecção destes dados através duma rede social permitirá fazer uma descrição mais precisa da variabilidade de g's em torno do globo. O "pendulo mundial" poderá ser uma importante rede colaborativa para a disseminação e o envolvimento da física nas escolas.

A construção e desenvolvimento do pendulo está detalhada em Precision Pendulum enquanto que as instruções para a sua montagem estão em Precision Pendulum Assembly.

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Física

A determinação da aceleração da gravidade em diferentes partes do globo levanta questões sobre a importância da modelização em física. Partindo do principio que a força da aceleração é constante ao nível do mar, pode-se mostrar contudo que que esta "constante" varia ligeiramente com a latitude e tem por isso de ser corrigida consoante o lugar onde nos encontramos. Este processo permite desmistificar a ciência e corrigir o "mito urbano" existente em torno de muitas constantes que só o são com muitas aproximações. Neste caso particular mostraremos como a introdução de correcções sucessivas à "constante da gravidade" levará a valores mais próximos dos estimados experimentalmente.

Modelo geofísico

O ponto de partida é a aproximação do modelo geofísico da Terra, como sendo (i) uma esfera (ii) não-rotante cuja aproximação mais conhecida atribui o valor de 9,81 ms^-2. É trivial notar que este modelo, devido à simetria da esfera, leva a valores uniformes em qualquer latitude da Terra. Mas assim que introduzimos a dinâmica do movimento terrestre aperceber-nos-emos que este valor passa a depender da latitude bem como se considerarmos a terra um elipsóide devido ao achatamento nos pólos. Com efeito estes dois aspetos são as principais causas do desvio da "constante da gravidade" com a latitude e superam todos os outros efeitos tais como (i) a altitude do lugar, (ii) as marés ou (iii) a constituição do sub-solo próximo ao lugar.

Para demonstrar estes aspetos mais finos, a aceleração da gravidade tem de ser determinada em várias latitudes sobre o globo e bastante afastadas entre si. Com estas medidas obtidas em rede, os alunos poderão questionar-se sobre a "constante" e interpretar melhor a força da gravidade.

Estudos experimentais

Variação com a latitude

Como se viu, o primeiro estudo possivel consiste na utilização dos pêndulos remotos e verificar qual a aceleração da gravidade aparente nesses vários locais. Através da introdução (ou desprezo) de vários ajustes tenta-se chegar graficamente a um ajuste da descrição experimental da terra usando harmónicos esféricos (equação \eqref{harmonica-esferica}). Este estudo pode ser conduzido usando a constelação de pêndulos do e-lab e de outros parceiros.

Determinação local

Seguindo as instruções descritas nesta wiki - Precision_Pendulum - ou usando outro tipo de construção rigorosa dum pêndulo, produz-se e instala-se um pêndulo local e contribui-se para o enriquecimento da folha de cálculo da rede do pêndulo mundial.

Estudo das marés

Com base num almanaque obtém-se as datas/horas dos dias de alinhamento da lua com o Sol (marés vivas ou lua-cheia e lua nova) e quando estamos em quarto crescente ou minguante. Traçando um gráfico ao longo de vários meses tenta-se verificar e quantificar a influência das marés e do alinhamento da Lua com o Sol no peso aparente. Desta forma pode-se tentar associar às marés (luas) e ao movimento de translação eventuais flutuações medidas na aceleração aparente da gravidade, fazendo um estudo com um período mensal e/ou anual (p.exemplo ver as diferenças no periélio de Janeiro c/ lua nova e no afélio de Julho com lua cheia). O efeito de maré está no limite da deteção dos pendulos usados pelo que é necessário um grande rigôr na hora (a influência solar é muito superior à lunar mas a flutuação é inferior) e o emprego de técnicas numéricas avançadas usando por exemplo a transformada de Fourier.

Análise da torção no fio

Efeito da torção do fio e da elipticidade da esfera que origina um erro regular na medida pela fotocélula da velocidade na origem.

Para os mais atentos, a velocidade na origem apresenta uma variação devido à torção do fio e à não-esfericidade da massa. O gráfico anexo demonstra isso. Pode ser efetuado o estudo do pêndulo considerando a massa da bola e a torção no fio, recomendando-se o uso das equações de euler-lagrange.

Movimento circular uniformemente acelerado

A velocidade de transito da esfera no ponto inferior da trajetória é determinada pela medida do tempo de interrupção do feixe laser. Com efeito, sabendo o diâmetro da esfera é imediato determinar a velocidade na origem podendo ser inferida a energia cinética máxima. Deste modo, sabendo o comprimento do cabo, pode-se calcular o ponto de lançamento da esfera e confrontar com o ponto de lançamento.

A CPLP como "provedor de latitude"

Gráfico com a aceleração da gravidade a determinar pela rede. São Tomé e Príncipe está mesmo sobre o equador. O valor de Lisboa já foi estabelecido experimentalmente.

A língua é um fator importante da nacionalidade ("a minha pátria á a língua portuguesa", F. Pessoa) e uma maneira simples de definir os chamados "países irmãos". Na prática só quatro línguas estão disseminadas no globo, sendo uma delas o português. Naquilo que nos interessa, o português cobre latitudes de ~30ºS a ~42ºN, quase 75º de variação sobre o equador. Deste modo os países da CPLP poderão servir como "provedores de latitude" (ver figura).

Para realizar esta experiência e ajustar pontos relevantes à nossa curva experimental precisaremos de pelo menos quatro pontos espaçados em latitude. Mas devido à não-linearidade da equação mais pontos serão convenientes para obter um ajuste firme, principalmente em torno do "joelho" nas latitudes de 10º-30º. Só o Brasil por si permite obter grade parte deste conjunto de pontos (Recife 8º, Salvador – 12º, Rio de Janeiro – 23º, Porto Alegre – 30º) mas não permite suprir os pontos onde a aceleração da gravidade varia mais rapidamente, a região quase linear entre 30º e 60º onde Portugal pode contribuir com dois pontos, por exemplo 37º e 41º. Moçambique e Angola podem contribuir com pontos redundantes próximos ao equador e S. Tomé e Príncipe, Brasil e Cabo Verde com valores equatoriais.

Ajuste experimental

Existem inúmeras fontes de informação sobre o pêndulo . Se forem tidas em conta todas as influências significativas a equação harmónica na latitude que resulta pode ser expressa por:

[math] g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica} [/math]

onde \(\varphi\) é a latitude do lugar. Esta expressão é uma das que melhor ajusta os resultados experimentais de acordo com o "World Geodetic System datum surface (WSG84)", considerando a terra como um elipsóide de raio r₁=6378137m no equador e r₂=6356752m como o raio semi-menor polar.

Propõe-se que se derive pelo menos a correção devido à força centrífuga e do achatamento dos pólos.

Variabilidade do período com o tempo decorrido e consequentemente com a amplitude.(ângulo < 7,5º) demonstrando que o erro é inferior a 0,05%.

Na figura mostra-se o desvio da "constante da gravidade", ou seja o valor real em função da latitude. Estão marcadas as latitudes de alguns possíveis parceiros. Houve a preocupação de evitar que qualquer erro experimental excedesse os 0,05%, tendo em conta um desenho preciso da montagem experimental de forma a conseguir obter a precisão final mínima de 0,1% para poder comparar os dados.

Notas históricas

A importância do pêndulo como elemento base dos relógios e cronografos só foi destronada quando a Royal Society convenceu o parlamento inglesa a instituir um prémio de 10k£ a 20k£ (atualmente mais de 3,5M€) para a invenção dum cronografo que não dependesse dele. Com efeito a precisão do pêndulo na determinação do tempo só é ultrapassada por sistemas eletrónicos modernos.

Efetivamente, à data dos descobrimentos, a longitude só era determinada com um elevado erro, uma vez que os relógios e cronografos dependiam do pendulo e este era muito sensivel às oscilações dos navios, alterando a sua frequência ou até parando. A hora local do navio era utilizada para comparar com a hora solar (ou estelar) e com esta diferença estabelecia-se a longitude do lugar.

Ligações

• Versão em Inglês (English Version)
• Constrói o teu pêndulo