View source for Propagação de Solitões num Meio Viscoso

=Descrição da Experiência=
A primeira observação registada do fenómeno Solitão foi efectuada por John Scott Russell ( Engenheiro e Arquitecto Naval), há mais de 150 anos, que escreveu uma carta à Associação Britânica para o Desenvolvimento da Ciência (B.A.A.S.) transmitindo o que tinha observado. A descoberta deste fenómeno ocorreu de uma forma muito peculiar, pelo que se apresenta de seguida a tradução de um excerto desta carta:

“Estava a observar o movimento de um barco que era conduzido por dois cavalos a grande velocidade por um canal estreito, quando este de repente parou; a massa de água que o barco tinha posto em movimento, tinha-se acumulado na proa num estado de violenta agitação. De repente, deixando o barco para trás, deslocando-se para a frente rapidamente, surgiu uma grande elevação solitária, redonda, polida e bem definida que seguiu o seu curso ao longo do canal, aparentemente, sem mudar de forma ou diminuir a sua velocidade. Então, segui-a com o meu cavalo verificando que se deslocava a uma velocidade de aproximadamente oito ou nove milhas por hora e que preservava a sua forma original de trinta pés de comprimento e de um a um pé e meio de altura em relação ao nível da água. A sua altura diminuía gradualmente, e após uma caça de uma ou duas milhas perdi-a...”

À semelhança do que fez John Scott Russel, nos nossos dias é possível repetir esta descoberta nos canais dos célebres vulcões do Parque das Nações.


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'''Caixa de Ligações'''
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(em construção)

<!--
*Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt:[port]/[nome].sdp
*Laboratory: [Básico/Intermédio/Avançado] em e-lab.ist.eu[http://e-lab.ist.eu]
*Control room: [Nome no e-lab]
*Level: [Dificuldade]
-->

</div>
</div>



=Modelo teórico=

==Equação D.J. Korteweg e Hendrik de Vries-KdV==

\[
\eta _t + c _0 \eta _x + \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x + \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} = 0
\]

Observando esta equação verificam-se então dois termos muito importantes, um termo dispersivo \( \left( \frac{c _0 h ^2}{6} \right) \eta _{xxx} \) e um não-linear \( \left( \frac{3 c_0}{2 h} \right) \eta \eta _x \).

As ondas solitárias/solitões surgem desta equação e resultam da competição entre os termos dispersivo e não-linear. Sob certas circunstâncias, os dois exactamente contrabalançam e o resultado é uma configuração estável;uma onda que se propaga sem qualquer alteração da forma.

[imagens]


=Protocolo=

O projecto experimental consiste na elaboração duma tina de “plexi-glass” com um sistema de comportas de abertura/fecho automático(controlado electronicamente por via informática!) que viabilizam a geração de Ondas Solitárias/Solitões e pemitem o estudo das propriedades das mesmas. Através das equações de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries, foram feitas Previsões/Simulações Numéricas do que se sucede na tina. Assim, se se quiser pensar em termos de objectivos, o mais estrito consiste na comparação/corroboração das leis de D.J.Korteweg e Hendrik de Vries(KdV) e o objectivo mais lato visa a que qualquer pessoa que esteja interessada no fenómeno Onda Solitária/Solitão, através da “página da Web” criada, possa realizar a experiência em “directo” e confirme ela própria as mesmas leis!

Esquema simplificado da tina elaborada para o intuito:

[[File:Solitoes Protocolo esquema.gif|alt=Esquema da tina dos solitões.]]

Legenda:

* A1= 0,06 m
* A2=A3=0,03 m
* h=0,03 m
* B1=0,08 m
* B2=0,12 m
* B3=0,13 m
* Δx =3,80 m
* H=0,14 m
* γ=0,2 m


=Modelo teórico avançado=
O modelo teórico da onda solitária/Solitão por D.J. Korteweg e Hendrik de Vries (KdV)

Para prever o fenómeno “Solitão” no nosso projecto, isto é, por forma a obter uma simulação teórica do que se irá passar experimentalmente foram utilizadas as equações de D.J. Korteweg e Hendrik de Vries.

==Suposições/Considerações iniciais essenciais(Axiomática)==
Assume-se que o líquido é homogéneo, incompressível e sem viscosidade. Esta última consideração (viscosidade=0) está longe de ser verdadeira para qualquer líquido que exista na realidade.

Assume-se também que o líquido está contido numa tina segundo o eixo dos xx, a um nível z=h e com uma largura constante Δy=γ. O líquido está sujeito a uma força gravitacional (g) e a uma pressão atmosférica (pa) constante que actua na superfície livre do líquido. Ignorando-se os efeitos de tensão superficial do líquido (tendo em conta  as ordens de grandeza da tina de água do nosso projecto), considera-se que o movimento do líquido segundo estas forças é irrotacional.

[[File:Solitoes_calha.gif|alt=Esquema da tina dos solitões.]]

==Equações de ondas (Teoremas)==
Admitem-se ondas de uma dimensão que se propagam ao longo da tina. Designa-se por η(x, t) ao deslocamento vertical no mesmo tempo t da partícula do líquido na superfície livre que se encontra em x quando está em equilíbrio.

As suposições anteriores não são suficientes para especificar a forma e o comportamento destas ondas. Para definir as soluções tem que se ter em consideração os valores relativos de três comprimentos característicos:

* O deslocamento vertical típico \( \bar{\eta} \): a amplitude da onda;
* a dimensão típica horizontal da onda (l);
* nível de água de referência-profundidade (h)


=Protocolo avançado=
Sugestões para outros procedimentos que permitam estudar várias propriedades dos solitões.

*Abrir em simultâneo a comporta 1 (com a comporta 2 inactiva/para cima) e a comporta 3 - fenómeno de colisão frontal

*Abrir em simultâneo a comporta 2 (com a comporta 1 inactiva/para cima) e a comporta 3 - fenómeno de colisão frontal

*Abrir em simultâneo a comporta 2 (com a comporta 1 activa/para baixo) e a comporta 3 - fenómeno de colisão frontal

*Abrir em simultâneo a comporta 1 e 2 (com a comporta 3 inactiva/para cima) - fenómeno de colisão (ultrapassagem)

*Abrir em simultâneo a comporta 1, 2 e 3 - fenómenos de colisão (ultrapassagem) e de colisão frontal

*Abrir a comporta 2 e em seguida (“Lag” de Δt=0,5 s) abrir a comporta 1 (com a comporta 3 inactiva/para cima) - fenómeno de colisão (ultrapassagem)

*Abrir a comporta 2 e em seguida (“Lag” de Δt=0,5s), em simultâneo, abrir a comporta 1 e a comporta 3 - fenómenos de colisão (ultrapassagem) e de colisão frontal

*Abrir em simultâneo a comporta 2 e a comporta 3 e em seguida (“Lag” de Δt=0,5s) abrir a comporta 1- fenómenos de colisão (ultrapassagem) e de colisão frontal



=Nota Histórica=
Com a formulação da Mecânica Quântica no início do Século XX, foram estabelecidas relações entre as ondas e as partículas, encontrando-se desde então intimamente relacionadas para a Física teórica. Nos últimos anos foram surgindo outro tipo de relações entre elas. Estas, surgiram surpreendentemente da análise de certas equações de onda que não fazem parte da Mecânica Quântica, mas sim da Física Clássica. As soluções destas equações são ondas que não se dispersam,  ao contrário de  todas as famílias de ondas até então conhecidas,  mantendo o seu tamanho e a sua forma indefinidamente. Estas ondas podem ser olhadas como quantidades de energia que se encontram permanentemente confinadas a uma determinada região do espaço e, apesar de poderem ser postas em movimento, não se dissipam por dispersão.

==Dualidade Onda Corpúsculo==
Propriedades das soluções das equações de onda (ondas que não se dispersam):

*Quando duas ondas colidem, cada uma vem do encontro com a sua identidade intacta;
*Se uma onda se encontra com uma “anti-onda” as duas podem ser aniquiladas;

Comportamentos deste tipo, sendo extraordinários em ondas, podem ser familiares noutro tipo de contexto. Isto é, um físico teórico perante uma descrição de um objecto com este tipo de propriedades designá-lo-ia por partícula.

Ondas que se propagam sem se dispersar eram designadas pela Hidrodinâmica por ondas solitárias ou solitões. O que tem sido descoberto recentemente é que ondas não dissipativas também surgem de algumas equações formuladas para descrever partículas elementares, pelo que o nome “onda solitária/ solitão” foi “exportado” da Hidrodinâmica para a Física das Partículas.

==Partícula - Física das Partículas==
Os solitões partilham um mecanismo particular de confinamento; não se dispersam devido a um constrangimento topológico. Estabelecendo-se uma analogia, os solitões não podem decair por dispersão assim como um nó apertado duma corda infinita não pode ser desfeito a menos que se corte a corda.
Por enquanto, os solitões da Física de Partículas são apenas uma criação dos teóricos, cuja prova como realidade da Natureza ainda não foi demonstrada.
Assim, tal como já foi referido, algumas das equações que descrevem as partículas elementares também admitem soluções de solitões, pelo que o solitão deveria evidenciar-se como uma nova partícula  possuindo as seguintes características:

Uma massa muito grande, possivelmente milhares de vezes mais pesada que o protão;
Cada solitão seria um monopolo magnético, um pólo magnético (Norte ou Sul);
Mesmo que estas partículas não existam, os solitões podem surgir na realidade das Partículas Elementares com uma outra definição, isto é, como objectos confinados não só a uma região do espaço mas também a um momento no tempo. Estes solitões evanescentes designam-se por instantões. Tal como o solitão, o instantão é um objecto clássico com uma interpretação da Mecânica Quântica. É visto não como uma partícula mas como uma transição entre dois estados dum sistema. A manifestação do fenómeno é designada por “Tunneling”- Efeito de Túnel. Transições associadas aos instantões têm sido invocadas para explicar o padrão das massas das partículas que tem sido um longo e constante puzzle para os teóricos.

Os solitões de interesse na Física das partículas surgem das equações que descrevem campos, ou sistemas físicos que são expansíveis no espaço. Um campo atribui a cada ponto do espaço uma quantidade específica, como por exemplo um potencial eléctrico. Muitas vezes, mais do que uma quantidade específica é definida para cada ponto. Os valores podem variar de ponto para ponto e de instante para instante, mas tem de ser uma variação progressiva e contínua. O campo mais familiar é o campo electromagnético, descrito pelas equações de campo por James Clerk Maxwell. Na teoria de Maxwell seis valores são atribuídos a cada ponto do espaço, representando as componentes do campo Eléctrico e Magnéticos ao longo dos três eixos ortogonais. A Gravitação também é descrita por equações de campo, ou seja, pelas equações de campo da Teoria Geral da Relatividade. A superfície de água num tanque pode ser vista como um modelo de um campo a duas dimensões. A quantidade específica a cada ponto é a posição vertical (altura em relação a um nível de referência). Uma onda que se desloque sobre a superfície da água insurge-se como uma perturbação do campo.

==Ondas - Hidrodinâmica==
De forma a perceber o que existe de extraordinário em relação às ondas que não se dispersam, é necessário considerar-se uma onda ordinária, dissipativa, tal como aquela que é gerada quando se deixa cair uma pedra num tanque de água. A onda originada tem a forma de um anel com a origem no “epicentro” que se expande pela superfície da água no tempo. Numa observação mais cuidada, verifica-se que a perturbação se vai tornando menos pronunciada à medida que se vai afastando da origem e, eventualmente estagnando-se completamente. Um dos factores mais importantes neste decaimento das ondas de água é a viscosidade do meio, como manifestação do “atrito”.

Os solitões como ondas que se propagam num meio (com um dado factor de viscosidade) também sofrem de dispersão, mas este factor é cancelado por fenómenos de compensação. A compensação é apenas possível para uma certa classe de ondas, aquelas cujas equações de movimento são designadas por não-lineares, verificando-se então a não linearidade das equações de onda dos solitões. A propagação destas ondas é influenciada não só pela forma da perturbação como também pela sua amplitude.

A primeira observação registada do fenómeno Solitão foi efectuada por John Scott Russell (Engenheiro e Arquitecto Naval) há mais de 150 anos, que escreveu uma carta à Associação Britânica para o Desenvolvimento da Ciência (B.A.A.S.) transmitindo o que tinha observado. Scott Russel propôs que a estabilidade das ondas que tinha observado resultava das propriedades intrínsecas do movimento das ondas, mais do que propriamente das circunstâncias da sua geração. Esta forma de analisar o fenómeno não foi imediatamente aceite. Contudo, em 1895, D.J.Korteweg e Hendrik de Vries forneceram um tratamento completo analítico das equações diferenciais parciais não-lineares (equações KdV) em Hidrodinâmica que descrevem o fenómeno onda solitária, mostrando que as ondas não-dissipativas localizadas podiam existir. O seguinte passo importante foi dado 70 anos depois, por Zabusky e Kruskal que simularam computacionalmente a colisão de duas ondas solitárias, descritas pela equação KdV. Até então acreditava-se fortemente que a colisão de duas ondas solitárias seria uma interacção tão forte (e tão não-linear) que aniquilar-se-iam uma à outra. Os resultados surpreendentes de Zabusky e de “Kruskal” foram que as ondas após a colisão surgiam com as suas formas e velocidades inalteradas.


=Ligações=